＞hessian
＞...対称行列A と 2次形式F は1対1に対応します。
???

(本日の)ChatGPT先生へ

2次形式Fの行列は、何ですか。

(表示を省略)

上記をQiitaにそのまま貼り付けるmathjaxのソースコードに変換して下さい。一つの全体版でお願いします。math から

(以下、回答を貼り付け)

$$
F(x_1,x_2,\ldots,x_n)
$$

を

$$
F(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}
$$

の形に表したときの係数行列 \(A\) のことを、2次形式 \(F\) の行列といいます。

ここで

```math
\mathbf{x}
=
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}

です。

例1

2次形式

F(x,y)=3x^2+4xy+5y^2

を考えます。

行列を

A=
\begin{pmatrix}
a & b\\
b & c
\end{pmatrix}

とすると

\begin{aligned}
\mathbf{x}^T A \mathbf{x}
&=
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b\\
b & c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\\
&=
ax^2+2bxy+cy^2
\end{aligned}

です。

したがって

a=3,\qquad 2b=4,\qquad c=5

より

A=
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
2 & 5
\end{pmatrix}

となります。

つまり

F(x,y)
=
\begin{pmatrix}
x&y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3&2\\
2&5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}

です。

なぜ交差項を半分にするのか

例えば

A=
\begin{pmatrix}
3&4\\
4&5
\end{pmatrix}

とすると

\mathbf{x}^TA\mathbf{x}
=
3x^2+8xy+5y^2

となります。

なぜなら

4xy+4yx=8xy

だからです。

したがって

xy

の係数が (c) のとき、

行列の対応する成分には

\frac{c}{2}

を入れます。

一般の場合

F(x_1,\ldots,x_n)
=
\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j

は

F(\mathbf{x})
=
\mathbf{x}^T A \mathbf{x}

と書けます。

2次形式の行列は通常

A=A^T

を満たす対称行列として取ります。

3変数の例

F(x,y,z)
=
x^2+4xy+6xz+2y^2+8yz+3z^2

なら

A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 2 & 4\\
3 & 4 & 3
\end{pmatrix}

です。

なぜなら

4xy=2xy+2yx,

6xz=3xz+3zx,

8yz=4yz+4zy

だからです。

まとめ

線形代数では

F(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}

の行列 (A) を 2次形式の行列 (matrix of the quadratic form) と呼びます。

対称行列 (A) と2次形式 (F) は1対1に対応します。

上記をsympyで教えて下さい。

from sympy import *
init_printing()

#--------------------------------------------------
# 例1
# F(x,y)=3x^2+4xy+5y^2
#--------------------------------------------------

x, y = symbols('x y')

F = 3*x**2 + 4*x*y + 5*y**2

print("F =")
pprint(F)

# 2次形式の行列
A = Matrix([
    [3, 2],
    [2, 5]
])

print("\nA =")
pprint(A)

X = Matrix([x, y])

# x^T A x
F2 = (X.T * A * X)[0]

print("\nx^T A x =")
pprint(expand(F2))

print("\nF - x^T A x =")
pprint(simplify(F - F2))


#--------------------------------------------------
# 行列から2次形式を生成
#--------------------------------------------------

print("\n------------------------------")
print("行列 → 2次形式")
print("------------------------------")

a11, a12, a22 = symbols('a11 a12 a22')

Agen = Matrix([
    [a11, a12],
    [a12, a22]
])

Fgen = expand((X.T*Agen*X)[0])

print("\n一般形:")
pprint(Fgen)

# 結果
# a11*x^2 + 2*a12*x*y + a22*y^2


#--------------------------------------------------
# 3変数の例
#--------------------------------------------------

print("\n------------------------------")
print("3変数")
print("------------------------------")

x, y, z = symbols('x y z')

A3 = Matrix([
    [1, 2, 3],
    [2, 2, 4],
    [3, 4, 3]
])

X3 = Matrix([x, y, z])

F3 = expand((X3.T*A3*X3)[0])

print("\nA3 =")
pprint(A3)

print("\nF3 =")
pprint(F3)

# 得られる結果
# x^2 + 4xy + 6xz + 2y^2 + 8yz + 3z^2


#--------------------------------------------------
# 2次形式から行列を求める
#--------------------------------------------------

print("\n------------------------------")
print("2次形式 → 行列")
print("------------------------------")

F = x**2 + 4*x*y + 6*x*z + 2*y**2 + 8*y*z + 3*z**2

A_from_F = Matrix([
    [1,     4/2,   6/2],
    [4/2,   2,     8/2],
    [6/2,   8/2,   3]
])

print("\nA_from_F =")
pprint(A_from_F)

print("\n確認")

Fcheck = expand((X3.T*A_from_F*X3)[0])

pprint(Fcheck)

print("\nF - Fcheck =")
pprint(simplify(F - Fcheck))


#--------------------------------------------------
# Hessianを利用して自動的に求める
#--------------------------------------------------

print("\n------------------------------")
print("Hessianから求める")
print("------------------------------")

F = x**2 + 4*x*y + 6*x*z + 2*y**2 + 8*y*z + 3*z**2

H = hessian(F, (x, y, z))

print("\nHessian =")
pprint(H)

A = H/2

print("\nA = Hessian / 2")
pprint(A)

print("\n確認")

Fh = expand((X3.T*A*X3)[0])

pprint(Fh)

print("\nF - Fh =")
pprint(simplify(F - Fh))

結果

F =

   2              2
3⋅x  + 4⋅x⋅y + 5⋅y 

A =
⎡3  2⎤
⎢    ⎥
⎣2  5⎦

x^T A x =
   2              2
3⋅x  + 4⋅x⋅y + 5⋅y 

F - x^T A x =
0


------------------------------
行列 → 2次形式

------------------------------


一般形:
     2                    2
a₁₁⋅x  + 2⋅a₁₂⋅x⋅y + a₂₂⋅y 

------------------------------
3変数

------------------------------


A3 =
⎡1  2  3⎤
⎢       ⎥
⎢2  2  4⎥
⎢       ⎥
⎣3  4  3⎦

F3 =
 2                      2              2
x  + 4⋅x⋅y + 6⋅x⋅z + 2⋅y  + 8⋅y⋅z + 3⋅z 

------------------------------
2次形式 → 行列

------------------------------


A_from_F =
⎡ 1   2.0  3.0⎤
⎢             ⎥
⎢2.0   2   4.0⎥
⎢             ⎥
⎣3.0  4.0   3 ⎦

確認
 2                          2                2
x  + 4.0⋅x⋅y + 6.0⋅x⋅z + 2⋅y  + 8.0⋅y⋅z + 3⋅z 

F - Fcheck =
0


------------------------------
Hessianから求める

------------------------------


Hessian =
⎡2  4  6⎤
⎢       ⎥
⎢4  4  8⎥
⎢       ⎥
⎣6  8  6⎦

A = Hessian / 2
⎡1  2  3⎤
⎢       ⎥
⎢2  2  4⎥
⎢       ⎥
⎣3  4  3⎦

確認
 2                      2              2
x  + 4⋅x⋅y + 6⋅x⋅z + 2⋅y  + 8⋅y⋅z + 3⋅z 

F - Fh =
0

いつもと違うおすすめです。

wikipedia内

Qiita内

sympy doc

sympy.matrices.dense.hessian (f, varlist, constraints=())