sinやcosの4乗や6乗「2017 青森公立大学前期 経営経済学部【１】問題３」をChatGPTとWolframAlphaとsympyでやってみたい。

・グラフが、でます。
・youtubeを探しましたが、見当たりませんでした。残念。(2023/08/14)
・「こうすれば確実」という必勝法？の検討は、閲覧数を増やすため、後日?投稿予定です
　アドバイスいただけると、幸いです。

オリジナル　

上と同じです。大学入試数学問題集成＞テキスト【１】問題3
？？？ジャンプの調子が悪いです。？？？

公式ホームページ 2017年度
なし。年度切れ　
公式ホームページ 2019年度〜2023年度入学者選抜
https://www.nebuta.ac.jp/for-examinee/about-past-problems

xxx ChatGPTで(できませんでした。) xxx

入力文

問題３　次の式を簡単にせよ．
(cosθ＾2+sinθ^2)^3-(cosθ^6+sinθ^6)
(2*(cosθ^6+sinθ^6)+1)/(3*(sinθ^4 + cosθ^4))

＞この式も、具体的なθの値がわからない限り簡略化できません。

WolframAlphaで

(1)できませんでした。グラフがでます。

(2)グラフがでます。

結果 1

sympyで [1]T氏の数学日記 様のやり方

勉強中。(三角関数の加法定理、倍角の公式)　覚えるのは、大変ですよね。

sympyで？ [2] 部分点？狙い

(1)がわからなくても,(2)で部分点がもらえるかも。
(いつものまたかのゆうどうです。2022年、自転車君)
受験生は、試験会場で一生懸命です。

# 以下、プログラムでありません。(答案の書き方を勉強中)
# (2)の答えは、一目で 1。(2+1)/3=1 
# 偶数乗。4乗,6乗だから、角度は,0度以上45度以下だよね。
#  0度の時 (2(1^6+0^6)+1)/(3(1^4+0^4)=3/3=1
# 45度の時 y=√2/2、2(y^6+y^6)+1 と 3((y^4+y^4) (3/2)/(3/2)=1
# 2つOKだから、0度,45度...8個OKだよね。
# 答えは、１じゃないかな？

sympyで [3] 安易な解法?変数cos^２,sin^２をa,bに置き換える。

＞次数を下げるというのを１つの方針とすれば，道が開けそうです。
sin(θ)＾2をa,cos(θ)＾2をbと置き換えれば、
a,bの3次多項式(ただし,a+b=1の条件付き)。
因数分解すれば、なんとかなりそう。いつのまにか、三角関数じゃないよね。
(2)は、分子だけ変換しています。
プログラムについて、(2)後半は、subsでなく、文字列のreplaceです。詳しい方教えて下さい。

Substitution
https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/basic_operations.html#substitution

factor() takes a polynomial and factors it into irreducible factors over the rational numbers. For example:
https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/simplification.html#factor

# (1) ####################################################################
from sympy import *
var('a,b',real=True)
var('θ'  ,real=True)
mySubs1={sin(θ)**2:a,cos(θ)**2:b}
mySubs2={a:sin(θ)**2,b:cos(θ)**2}
mySubs3={a+b:1}
f =(cos(θ)**2+sin(θ)**2)**3-(cos(θ)**6+sin(θ)**6)   ;print("#(1  )",f  )
f1=f .subs(mySubs1)                                 ;print("#(1.1)",f1 )
f2=f1.factor()                                      ;print("#(1.2)",f2 )
f3=f2.subs(mySubs3)                                 ;print("#(1.3)",f3 )
f4=f3.subs(mySubs2)                                 ;print("#(1.4)",f4 )
#(1  ) (sin(θ)**2 + cos(θ)**2)**3 - sin(θ)**6 - cos(θ)**6
#(1.1) -a**3 - b**3 + (a + b)**3
#(1.2) 3*a*b*(a + b)
#(1.3) 3*a*b
#(1.4) 3*sin(θ)**2*cos(θ)**2
# (2) ####################################################################
from sympy import *
var('a,b'      ,real=True)
var('θ'        ,real=True)
var('sinθ,cosθ',real=True)
mySubs1={sin(θ)**2:a,cos(θ)**2:b}
mySubs2={a:sinθ**2,b:cosθ**2}
mySubs3={a+b:1}
mySubs4={1:(a+b)**3}
g =(2*(cos(θ)**6+sin(θ)**6)+1)/(3*(sin(θ)**4 + cos(θ)**4))
h =numer(g)                               ;print("#(2  )",h )
h1=h .subs(mySubs1)                       ;print("#(2.1)",h1)
h2=h1.subs(mySubs4)                       ;print("#(2.2)",h2)
h3=h2.factor()                            ;print("#(2.3)",h3)
h4=h3.subs(mySubs3)                       ;print("#(2.4)",h4)
h5=h4.factor()                            ;print("#(2.5)",h5)
h6=h5.subs(mySubs2)                       ;print("#(2.6)",h6)
h7=h6.factor()                            ;print("#(2.7)",h7)
h8=str(h7)                                ;print("#(2.8)",h8)
h9=str(h8).replace("sinθ","sin(θ)")       ;print("#(2.9)",h9)
hA=str(h9).replace("cosθ","cos(θ)")       ;print("#(2.A)",hA)
#(2  ) 2*sin(θ)**6 + 2*cos(θ)**6 + 1
#(2.1) 2*a**3 + 2*b**3 + 1
#(2.2) 2*a**3 + 2*b**3 + (a + b)**3
#(2.3) 3*(a + b)*(a**2 + b**2)
#(2.4) 3*a**2 + 3*b**2
#(2.5) 3*(a**2 + b**2)
#(2.6) 3*cosθ**4 + 3*sinθ**4
#(2.7) 3*(cosθ**4 + sinθ**4)
#(2.8) 3*(cosθ**4 + sinθ**4)
#(2.9) 3*(cosθ**4 + sin(θ)**4)
#(2.A) 3*(cos(θ)**4 + sin(θ)**4)

sympyで [4] グラフもでます。

・(2)について、θだけの、茨の道へ。　
　＞次数を下げるというのを１つの方針とすれば，道が開けそうです。
　分母が一項式? 分子の+1が匂いますね。
　分子が6乗だから,1=cos(θ)^2+sin(θ)^2 より 1^3=(cos(θ)^2+sin(θ)^2)^3 です。　　
　？？？問題文(1)を使っていません。おかしいな？？？　　

・グラフの範囲?　〜45度、〜360度。心配になってきたので、多めにしました。

# (1)#####################################################################
from sympy import *
θ=symbols('θ',real=True)
f =(cos(θ)**2+sin(θ)**2)**3-(cos(θ)**6+sin(θ)**6)    ;print("#(1  )",f )
f1=f.expand()                                       ;print("#(1.1)",f1)
f2=f1.factor()                                      ;print("#(1.2)",f2)
f3=f2.subs({sin(θ)**2 + cos(θ)**2:1})               ;print("#(1.3)",f3)
print()
#(1  ) (sin(θ)**2 + cos(θ)**2)**3 - sin(θ)**6 - cos(θ)**6
#(1.1) 3*sin(θ)**4*cos(θ)**2 + 3*sin(θ)**2*cos(θ)**4
#(1.2) 3*(sin(θ)**2 + cos(θ)**2)*sin(θ)**2*cos(θ)**2
#(1.3) 3*sin(θ)**2*cos(θ)**2
# (2)#####################################################################
from sympy import *
θ =symbols('θ',real=True)
g =(2*(cos(θ)**6+sin(θ)**6)+1)/(3*(sin(θ)**4 + cos(θ)**4))
h =numer(g)                               ;print("#(2  )",h )
h1=h .subs({1:(sin(θ)**2+cos(θ)**2)**3})  ;print("#(2.2)",h1) 
h2=h1.expand()                            ;print("#(2.3)",h2) 
h3=h2.factor()                            ;print("#(2.4)",h3) 
h4=h3.subs({ sin(θ)**2+cos(θ)**2    :1})  ;print("#(2.5)",h4) 
h5=h4.factor()                            ;print("#(2.6)",h5) 
print()
#(2  ) 2*sin(θ)**6 + 2*cos(θ)**6 + 1
#(2.2) (sin(θ)**2 + cos(θ)**2)**3 + 2*sin(θ)**6 + 2*cos(θ)**6
#(2.3) 3*sin(θ)**6 + 3*sin(θ)**4*cos(θ)**2 + 3*sin(θ)**2*cos(θ)**4 + 3*cos(θ)**6
#(2.4) 3*(sin(θ)**2 + cos(θ)**2)*(sin(θ)**4 + cos(θ)**4)
#(2.5) 3*sin(θ)**4 + 3*cos(θ)**4
#(2.6) 3*(sin(θ)**4 + cos(θ)**4)
# (3)##################################################################=#####
plot(f,g,h, ,aspect_ratio=(1.0,1.0),xlim=(-5,5),ylim=(-2,5))
print("#(3  )", f,",",h  )
print("#(3.1)",(f-h).simplify()) 
print("#(3.2)","(-3)*(",(f-h).simplify()/(-3),")")
#(3  ) (sin(θ)**2 + cos(θ)**2)**3 - sin(θ)**6 - cos(θ)**6 , 2*sin(θ)**6 + 2*cos(θ)**6 + 1
#(3.1) -3*sin(θ)**6 - 3*cos(θ)**6
#(3.2) (-3)*( sin(θ)**6 + cos(θ)**6 )

(1)(2)のグラフ。(2)は、y=1でした。

sympyの実行環境

①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
???　タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???

参考

以下、いつもの?おすすめです。