・ver3.1の計算がラクだと思います。　
　他もラクに考えていたら、作成に時間がかかりました。
・ver1.1 が動かないと　Gemini先生に言ったら、ver2.1 とver2.2 を出されました。

オリジナル

YUUU0123 様 (0:00〜2:58) いつもお世話になっております。
↓高校入試チャレンジ問題直径ACを求めよ
https://youtu.be/FHUrZyVW65Q

いつものsympyで(オリジナル Youtbe様の方法を参考に)

ver0.1

・先生の丸写しです。相似ステキです。ソースコード内で、図形の証明は省略です。
・補助線2本でした。線分DP,CPです。

# ver0.1
from sympy import *
var('AC',real=True,positive=True)
BC,CD,degA=6,3,60
BP=BC*2
AB=BP/sqrt(3)               #;print(AB)
AC=sqrt(AB**2+BC**2)        #;print(AC) 
print("#",AC)
# 2*sqrt(21)

ver1.2

・三角関数で連立方程式を考えましたが、
　つぎのバージョンを見てあきらめました。

sympyで

ver1.1

・できませんでした。
・3つの円(既存1個＋新規2個) が見えました。デキルハズ？

# # ver1.1
# from sympy import *
# var('r',real=True,positive=True)
# BC,CD,degA=6,3,60
# O,A,C=map(Point,[(0,0),(-r,0),(r,0)])
# D    =Circle(O,r).intersection(Circle(C,CD))[1]
# B    =Circle(O,r).intersection(Circle(C,BC))[0]
# sol  =solve(Eq( Line(A,C).angle_between(Line(A,D))  \
#                +Line(A,B).angle_between(Line(A,C)), \
#                 rad(degA)),r)  ;print(sol)

ver2.1

(ver1.1を) solve が解けるようにするにはどうしたら。

SymPy の solve で動かない主な理由は、angle_between や intersection などの図形オブジェクト（Geometry モジュール）の抽象的な計算式が solve が扱える代数方程式の形（多項式や代数的な式）に自動で整理されないためです。
特に angle_betweenは逆三角関数（$\arccos$ など）を含み 、さらに intersection は記号的な $r$ を含んだまま解こうとすると非常に複雑な表現になるため、SymPy の solve は代数的に解を見つけることができません。解決策（推奨）：代数方程式に定式化し直す図形モジュールの関数を使う代わりに、余弦定理やベクトルの内積・外積を利用して代数的な方程式に落とし込むのが SymPy では最も確実です。...

・nsolve,nsimplify でした。r半径です。
　実数で求めて(nsolve),実数を大体の？無理数(nsimplify)です。

# ver2.1
from sympy import *

var('r', real=True, positive=True)
BC, CD, degA = 6, 3, 60
O, A, C = map(Point, [(0, 0), (-r, 0), (r, 0)])

D = Circle(O, r).intersection(Circle(C, CD))[1]
B = Circle(O, r).intersection(Circle(C, BC))[0]

# 方程式の定義
f = Line(A, C).angle_between(Line(A, D)) + Line(A, B).angle_between(Line(A, C)) - rad(degA)

# 1. 数値解を求める
numerical_sol = nsolve(f, r, 5.0)

# 2. nsimplify で数式（分数やルートなど）に変換する
exact_like_sol = nsimplify(numerical_sol)

print("数値解:", numerical_sol)
print("nsimplify による変換:", exact_like_sol)

計算結果

数値解: 4.58257569495584
nsimplify による変換: sqrt(21)

ver2.2

・???

# ver2.2
from sympy import *

# 変数の定義
r = symbols('r', real=True, positive=True)

# 円周角の定理と直角三角形の辺の関係から、
# 角DACの余弦 cos(alpha) と、角CABの余弦 cos(beta) を定義する
# 直角三角形ADC において AD = sqrt(4*r**2 - 9)
# 直角三角形ABC において AB = sqrt(4*r**2 - 36)
cos_alpha = sqrt(4*r**2 - 9) / (2*r)
cos_beta  = sqrt(4*r**2 - 36) / (2*r)
sin_alpha = 3 / (2*r)
sin_beta  = 6 / (2*r)

# 2つの角の和が 60° (pi/3) であるという条件
# cos(alpha + beta) = cos(alpha)cos(beta) - sin(alpha)sin(beta) = cos(pi/3) (= 1/2)
eq = Eq(cos_alpha * cos_beta - sin_alpha * sin_beta, 1/2)

# ルートを消すために、根号部分を移行して両辺を二乗できる形に整えるか、
# 式を代数的に簡約化して solve に渡す
# ここではルートを孤立させて二乗する方程式に変換する
# sqrt((4*r**2 - 9)*(4*r**2 - 36)) / (4*r**2) - 18 / (4*r**2) = 1/2
# 両辺に 4*r**2 をかけると: sqrt(...) - 18 = 2*r**2
# 移行して: sqrt(...) = 2*r**2 + 18

eq_poly = Eq(sqrt((4*r**2 - 9)*(4*r**2 - 36)), 2*r**2 + 18)

# 両辺を二乗した多項式方程式を解く（これによりSymPyが一瞬で計算を完了します）
sol = solve(Eq((4*r**2 - 9)*(4*r**2 - 36), (2*r**2 + 18)**2), r)

# 正の解のみをフィルタリング
valid_sol = [s for s in sol if s.is_real and s > 0]
print(valid_sol)
[sqrt(21)]

ver3.1

・(再)ver3.1の計算がラクだと思います。　ソースコード完全版は省略です。
・Cyclic quadrilateral theorem の証明省略です。

①次行を、(本日の)Gemini先生、ChatGPT先生に貼り付けると、英語がでます。

2*Triangle(sas=(3,180-60,6).circumradius

②次行を、貼り付けると、日本語の解説がでます。sympy と判断？されています。

2*Triangle(sas=(3,180-60,6).circumradius 日本語で

③次行を、(本日の)Gemini先生、ChatGPT先生に貼り付けると、... 。
　∞種類の解法だそうです。

2*Triangle(sas=(3,180-60,6).circumradius 100通りの解法の見出しのみを出力して。1〜100 の追番で。

④後は、n番目を詳しく。作図して。(symyのソースコード、計算結果を背景黒で）
Gemini先生、ChatGPT先生への質問は、いくらでも？(ソレデモタイヘンカモ）

Gemini先生へ。作図。

ver2.1

・(再)nsolve,nsimplify でした。r半径です。

以下の、PNG図のみ出力して下さい。
(ver2.1 ソースコード表示省略)

ver3.1

・無理でした。コレガネ。
　(私の)情報不足で、Gemini先生、ChatGPT先生でできませんでした

以下の、PNG図のみ出力して下さい。
2*Triangle(sas=(3,180-60,6).circumradius

いつもの? sympyの実行環境と参考のおすすめです。

sympyのweb上での実行方法

SymPy Live Shellで。FreeCADのマクロは、以下で実行できません。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

wikipedia で

・（Gemini先生より）この定理は、一般に「内接四角形の定理」（または、四角形が円に内接するための共円条件）と呼ばれています。
（Gemini先生より翻訳）
Cyclic quadrilateral theorem

円に内接する四角形
...凸四角形 □ABCD が内接四角形となるための必要十分条件は、その向かい合う角が互いに補角となることである。...

sympy のdoc

ver0.1

ver1.1

ver2.1

・sympy.simplify.simplify.nsimplify(
expr,
constants=(),
tolerance=None,
full=False,
rational=None,
rational_conversion='base10',
)
https://docs.sympy.org/latest/modules/simplify/simplify.html#sympy.simplify.simplify.nsimplify

ver2.2

ver3.1

・class sympy.geometry.polygon.Triangle(*args, **kwargs)
　keyword: asa, sas, or sss to specify sides/angles of the triangle
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/polygons.html#sympy.geometry.polygon.Triangle
・property circumradius　＜　Circle
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/polygons.html#sympy.geometry.polygon.RegularPolygon.circumradius

後記

＞GeminiはAIであり、不正確な情報を表示することがあります
＞ChatGPTの回答は必ずしも正しいとは限りません。
　重要な情報は確認するようにしてください。
でした。