線形計画法：農家の利益最大化問題「Wikipedia の線形計画法の例を具体的な数値でお願いします。」をsympyでAI先生に教えてもらいました。

オリジナル

・Wikipedia の線形計画法の例

・English

(本日の)Gemini先生へ

Wikipedia の線形計画法の例を具体的な数値でお願いします。

(途中省略)

# SymPy を使用して線形計画法の制約領域および最適解を算出・プロットするプログラム

import sympy as sp
from sympy.plotting import plot_implicit, PlotGrid

# 1. 変数と目的関数・制約条件の定義
x1, x2 = sp.symbols('x1 x2', real=True)

# 目的関数: Z = 3*x1 + 5*x2
Z = 3 * x1 + 5 * x2

# 制約条件の不等式群
inequalities = [
    x1 + x2 <= 10,       # 農地制限
    2 * x1 + x2 <= 16,   # 肥料制限
    x1 + 2 * x2 <= 18,   # 殺虫剤制限
    x1 >= 0,             # 非負制約 (x1)
    x2 >= 0              # 非負制約 (x2)
]

# 2. 実行可能領域の頂点（交点）を計算
# 境界線の方程式
eq1 = sp.Eq(x1 + x2, 10)
eq2 = sp.Eq(2 * x1 + x2, 16)
eq3 = sp.Eq(x1 + 2 * x2, 18)
eq4 = sp.Eq(x1, 0)
eq5 = sp.Eq(x2, 0)

# 交点候補の計算
candidates = [
    sp.solve([eq4, eq5], (x1, x2)),  # (0, 0)
    sp.solve([eq2, eq5], (x1, x2)),  # (8, 0)
    sp.solve([eq1, eq2], (x1, x2)),  # (6, 4)
    sp.solve([eq1, eq3], (x1, x2)),  # (2, 8)
    sp.solve([eq4, eq3], (x1, x2))   # (0, 9)
]

# 制約をすべて満たす頂点のみを抽出し、各点での利益 Z を評価
feasible_vertices = []
for pt in candidates:
    if all(ineq.subs(pt) for ineq in inequalities):
        z_val = Z.subs(pt)
        feasible_vertices.append((pt[x1], pt[x2], z_val))

# 3. 最適解の探索
optimal_point = max(feasible_vertices, key=lambda v: v[2])

print(f"実行可能頂点一覧 (x1, x2, Z): {feasible_vertices}")
print(f"最適解: 小麦 x1 = {optimal_point[0]}, 大麦 x2 = {optimal_point[1]}")
print(f"最大利益: {optimal_point[2]} 万円")

# 4. 実行可能領域の視覚化 (SymPy の plot_implicit を使用)
feasibility_region = sp.And(*inequalities)
p = plot_implicit(
    feasibility_region,
    (x1, -1, 12),
    (x2, -1, 12),
    title="Feasible Region (Linear Programming)",
    xlabel="x1 (Wheat)",
    ylabel="x2 (Barley)",
    show=True
)

実行結果

実行可能頂点一覧 (x1, x2, Z): [(0, 0, 0), (8, 0, 24), (6, 4, 38), (2, 8, 46), (0, 9, 45)]
最適解: 小麦 x1 = 2, 大麦 x2 = 8
最大利益: 46 万円

(計算過程のポイント省略)

作図して下さい。

(さらに)Gemini先生へ

Wikipedia「線形計画法」の農家の例　をおすすめのモジュールでsympyで教えて下さい。

SymPy には線形計画法を解くための最適化モジュール sympy.solvers.simplex が用意されており、その中の lpmax 関数 を使うのが最も直接的でおすすめです。
以前紹介した「交点をすべて解いて比較するコード」よりもシンプルに、問題の設定式をそのまま渡すだけで厳密な解（有理数解）を直接算出してくれます。
...
(途中抜粋)

・sympy.solvers.simplex.lpmax を使ったコード

# SymPy の最適化モジュール (simplex) を使用した線形計画法の解法

from sympy import symbols, Ge, Le
from sympy.solvers.simplex import lpmax

# 1. 変数の定義
x1, x2 = symbols('x1 x2', real=True)

# 2. 目的関数（最大化したい利益 Z）
Z = 3 * x1 + 5 * x2

# 3. 制約条件（不等式のリスト）
# Le は <= (Less than or Equal), Ge は >= (Greater than or Equal) を表します
constraints = [
    Le(x1 + x2, 10),      # 農地制限: x1 + x2 <= 10
    Le(2 * x1 + x2, 16),  # 肥料制限: 2*x1 + x2 <= 16
    Le(x1 + 2 * x2, 18),  # 殺虫剤制限: x1 + 2*x2 <= 18
    Ge(x1, 0),            # 非負制約: x1 >= 0
    Ge(x2, 0)             # 非負制約: x2 >= 0
]

# 4. 単体法（Simplex法）で最大値を計算
max_value, optimal_dict = lpmax(Z, constraints)

# 結果の表示
print(f"最大利益 (Z): {max_value} 万円")
print(f"最適解: 小麦 x1 = {optimal_dict[x1]} km², 大麦 x2 = {optimal_dict[x2]} km²")

実行結果

最大利益 (Z): 46 万円
最適解: 小麦 x1 = 2 km², 大麦 x2 = 8 km²

このモジュール（lpmax）のポイント
○直感的: 数式（目的関数と制約不等式の配列）をそのまま渡すだけで計算してくれます。
○厳密解（分数/整数）: 数値計算ライブラリ（SciPy等）と異なり、シンボリック計算エンジンである SymPy のため、小数近似（2.00000001 など）ではなく「正確な整数・分数」として解を返してくれます。

いつもと違うおすすめです。

sympy のdoc

・sympy.solvers.simplex.lpmax(f, constr)
https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/solvers.html#sympy.solvers.simplex.lpmax