ChatGPT-3.5で(???できませんでした。？？？)

私の質問の仕方が悪いかもしれません。
入力文

xを正の実数とする．座標平面上の3点A(0,1),B(0,2),P(x,x)をとり，△APBを考える．
xの値が変化するとき，∠APBの最大値を求めよ．

以下の結果は抜粋です。

...
手計算では複雑な式となるため、数値計算を行うか、数値計算ソフトウェアを使用して最大値を
求めることがおすすめです。

WolframAlphaで

省略

sympyで(いつものスタイルで)

・angle_between関数とmaximum関数の組み合わせです。
・solveで終了しなかったので、solvesetにしました。
angle_between(l2)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/lines.html#sympy.geometry.line.LinearEntity.angle_between
maximum
https://docs.sympy.org/latest/modules/calculus/index.html#:~:text=*pi%5D)-,sympy,-.calculus.util.
solveset
https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/solveset.html

from sympy import *
var('x',real=True,positive=True)
A=Point(0,1)
B=Point(0,2)
P=Point(x,x)
ang_APB=Line(P,B).angle_between(Line(P,A))
max_APB=maximum(ang_APB,x,Interval(0,pi))
# print("#",max_APB,solve   ( Eq(ang_APB,max_APB),x                     )        )
print  ("#",max_APB,solveset( Eq(ang_APB,max_APB),x,Interval.Lopen(0,oo)).args[0])
# pi/4 {1}

上と同じです。mapにしただけです。 ← 資源の無駄使いするな。最初から、書けよ!!!です。

from sympy import *
var('x',real=True,positive=True)
A,B,P=map(Point,[(0,1),(0,2),(x,x)])
ang_APB=Line(P,B).angle_between(Line(P,A))
max_APB=maximum(ang_APB,x,Interval(0,pi))
print("#",max_APB,solveset( Eq(ang_APB,max_APB),x,Interval.Lopen(0,oo)).args[0])
# pi/4 1

sympyで(shaitan 様の方法を参考に)

・shaitan 様の解答に近づけました。円の作図のため、FreeCADのマクロへコピー利用しました。
projection(other)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/lines.html#sympy.geometry.line.LinearEntity.projection
distance(other)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/points.html#sympy.geometry.point.Point.distance

from sympy import *
var('x',real=True,positive=True)
A,B,P=map(Point,[(0,1),(0,2),(x,x)])
H=Line(Point(0,0),Point(x,x)).projection(B)
print("#",H)
print("#",Ge( maximum(B.distance(P),x,Interval(0,pi)) , B.distance(H)))
print("#",Line(H,A).angle_between(Line(H,B)) )
# Point2D(1, 1)
# True
# pi/4

sympyで(望星塾様の方法を参考に)

・Eqを使わなくてもいいような気もしましたが、Eqだと、solveに放り込めるから、
　便利に思いました。
Derivatives
https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/calculus.html#derivatives

from sympy import *
var('x'      ,real=True,positive=True)
var('θ,θA,θB',real=True,positive=True)
var('f'     ,real=True,positive=True)
A,B,P=map(Point,[(0,1),(0,2),(x,x)])
eq1=Eq(tan(θ) ,tan(θA-θB))                         ;print("#",eq1)
eq2=Eq(eq1.lhs,eq1.rhs.expand(trig=True))          ;print("#",eq2)
mySubs={tan(θA):(x-1)/x,tan(θB):(x-2)/x}       
eq3=eq2.subs(mySubs)                               ;print("#",eq3)
eq4=Eq(eq3.lhs,eq3.rhs.simplify())                 ;print("#",eq4)
eq5=Eq(f,(denom(eq4.rhs)/numer(eq4.rhs)).expand()) ;print("#",eq5)
eq6=eq3.subs({x:solve(diff(eq5.rhs))[0]})          ;print("#",eq6)
print("#",solve(eq6)[0])
# Eq(tan(θ), tan(θA - θB))
# Eq(tan(θ), tan(θA)/(tan(θA)*tan(θB) + 1) - tan(θB)/(tan(θA)*tan(θB) + 1))
# Eq(tan(θ), -(x - 2)/(x*(1 + (x - 2)*(x - 1)/x**2)) + (x - 1)/(x*(1 + (x - 2)*(x - 1)/x**2)))
# Eq(tan(θ), x/(x**2 + (x - 2)*(x - 1)))
# Eq(f, 2*x - 3 + 2/x)
# Eq(tan(θ), 1)
# pi/4

＜解説＞部分です。
factor
https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/simplification.html#factor

from sympy import *
var('x'           ,real=True,positive=True)
var('θ'            ,real=True,positive=True)
var('PA,PB,AB,ABP',real=True,positive=True)
eq1=Eq(cos(θ),(PA**2+PB**2-AB**2)/(2*PA*PB)         )    ;print("#",eq1)
eq2=Eq(sin(θ),2*ABP/(PA*PB)                         )    ;print("#",eq2)
eq3=Eq((eq2.lhs/eq1.lhs).simplify(),eq2.rhs/eq1.rhs )    ;print("#",eq3)
mySubs={PA**2:x**2+(x-1)**2,
        PB**2:x**2+(x-2)**2,
        AB**2:1,
        ABP  :x/2 
       }
eq4=eq3.subs(mySubs)                                     ;print("#",eq4)
eq5=Eq(eq4.lhs,factor(eq4.rhs)    )                      ;print("#",eq5)
# Eq(cos(θ), (-AB**2 + PA**2 + PB**2)/(2*PA*PB))
# Eq(sin(θ), 2*ABP/(PA*PB))
# Eq(tan(θ), 4*ABP/(-AB**2 + PA**2 + PB**2))
# Eq(tan(θ), 2*x/(2*x**2 + (x - 2)**2 + (x - 1)**2 - 1))
# Eq(tan(θ), x/(2*x**2 - 3*x + 2))

FreeCADのマクロで作図

・円を書きました。
・計算部分は、shaitan 様のソースコードをコピーです。

import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# 計算
from sympy import *
var('x',real=True,positive=True)
A,B,P=map(Point,[(0,1),(0,2),(x,x)])
H=Line(Point(0,0),Point(x,x)).projection(B)
print("#",H)
print("#",Ge( maximum(B.distance(P),x,Interval(0,pi)) , B.distance(H)))
print("#",Line(H,A).angle_between(Line(H,B)) )
# Point2D(1, 1)
# True
# pi/4
############################################################################
# 作図用
O=Point(0,0)
L=Point(3,3)
C=(B+H)/2
ci=Circle(C,C.distance(H))
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
############################################################################
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.15 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
#######################################################################################
myCircle_2D  ( ci )
myLine_S_2D  ( O,L )
myLine_C_2D  ( A,B,H )
myTxtXYZ_S_2D( O,"O",A,"A",B,"B",H,"H",C,"C"  )
#######################################################################################
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")

・角度の寸法表示は勉強中です。
・isometric方向?です。

・isometric方向?です。拡大図です。

・上空から?です。Originは、CAD操作で非表示です。

sympyの実行環境

①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
???　タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???

参考

以下、いつもの?おすすめです。

私がやってみた感想

＞∠APBが最大となるのは，△APBの外接円の直径dが最小となるとき...(shaitan 様より)
＞図を書いてみると，4APBが45,のとき...ABPが直角二等辺三角形のとき，...(望星塾様より)
・ABより、円周角の角の点が？向こう側(直線側）へ行くと細くなるから、垂線の足で角度が最大
です。
意味が通じます。でしょうか？