・私は、sympyで代表値??? の扱いを理解できませんでした。アドバイスいただけると助かります。
　7パターンを言ったのが悪かったカモ。

オリジナル

@arairuca(iru ca) 様へ。いつもお世話になっております。

(本日の)Gemini先生へ

(最終コードだけ)

# 1行目: SymPyを用いて定数aを文字のまま含めた一般解と7パターンの代表値における厳密解（真数）を計算・表示するプログラム
from sympy import Symbol, Eq, solve, Rational, sqrt, simplify

def main():
    x = Symbol('x', real=True)
    y = Symbol('y', real=True)
    a = Symbol('a', real=True)

    # ---------------------------------------------------------
    # 1. 定数 a のまま解く（一般解の計算）
    # ---------------------------------------------------------
    eq1 = Eq(x**2 + (y - a)**2, 1)
    eq2 = Eq(y, x**2)

    print("==================================================")
    print("【1. 定数 a を用いた一般解の計算】")
    print("==================================================")
    
    # y についての二次方程式 y^2 + (1-2a)y + a^2 - 1 = 0 を解く
    y_eq = Eq(y**2 + (1 - 2*a)*y + a**2 - 1, 0)
    y_solutions = solve(y_eq, y)
    
    print(f"y の解 (a で表した式):")
    for idx, y_sol in enumerate(y_solutions, 1):
        print(f"  y_{idx} = {y_sol}")
    print("\n※ x = ±√y (y ≧ 0 の場合)\n")

    # ---------------------------------------------------------
    # 2. 7つのパターン・代表値による計算（厳密解・真数表示）
    # ---------------------------------------------------------
    print("==================================================")
    print("【2. 7パターンの代表値における厳密解と解の個数】")
    print("==================================================")

    test_cases = [
        ("a > 5/4", Rational(2, 1)),
        ("a = 5/4", Rational(5, 4)),
        ("1 < a < 5/4", Rational(9, 8)),
        ("a = 1", Rational(1, 1)),
        ("-1 < a < 1", Rational(0, 1)),
        ("a = -1", Rational(-1, 1)),
        ("a < -1", Rational(-2, 1)),
    ]

    for label, a_val in test_cases:
        # 代表値を代入して方程式を作成
        eq1_sub = Eq(x**2 + (y - a_val)**2, 1)
        
        # 厳密解を計算
        sols = solve((eq1_sub, eq2), (x, y))
        
        # 重複解（重根）を除外して相異なる実数解を取得
        unique_sols = list(dict.fromkeys(sols))

        print(f"--- {label} (代表値: a = {a_val}) ---")
        print(f"解の個数: {len(unique_sols)} 個")
        if unique_sols:
            for s in unique_sols:
                print(f"  (x, y) = ({s[0]}, {s[1]})")
        else:
            print("  実数解なし")
        print()

if __name__ == "__main__":
    main()

実行結果

==================================================
【1. 定数 a を用いた一般解の計算】
==================================================
y の解 (a で表した式):
  y_1 = a - sqrt(5 - 4*a)/2 - 1/2
  y_2 = a + sqrt(5 - 4*a)/2 - 1/2

※ x = ±√y (y ≧ 0 の場合)

==================================================
【2. 7パターンの代表値における厳密解と解の個数】
==================================================
--- a > 5/4 (代表値: a = 2) ---
解の個数: 0 個
  実数解なし

--- a = 5/4 (代表値: a = 5/4) ---
解の個数: 2 個
  (x, y) = (-sqrt(3)/2, 3/4)
  (x, y) = (sqrt(3)/2, 3/4)

--- 1 < a < 5/4 (代表値: a = 9/8) ---
解の個数: 4 個
  (x, y) = (-sqrt(5/8 - sqrt(2)/4), 5/8 - sqrt(2)/4)
  (x, y) = (sqrt(5/8 - sqrt(2)/4), 5/8 - sqrt(2)/4)
  (x, y) = (-sqrt(sqrt(2)/4 + 5/8), sqrt(2)/4 + 5/8)
  (x, y) = (sqrt(sqrt(2)/4 + 5/8), sqrt(2)/4 + 5/8)

--- a = 1 (代表値: a = 1) ---
解の個数: 3 個
  (x, y) = (-1, 1)
  (x, y) = (0, 0)
  (x, y) = (1, 1)

--- -1 < a < 1 (代表値: a = 0) ---
解の個数: 2 個
  (x, y) = (-sqrt(-1/2 + sqrt(5)/2), -1/2 + sqrt(5)/2)
  (x, y) = (sqrt(-1/2 + sqrt(5)/2), -1/2 + sqrt(5)/2)

--- a = -1 (代表値: a = -1) ---
解の個数: 1 個
  (x, y) = (0, 0)

--- a < -1 (代表値: a = -2) ---
解の個数: 0 個
  実数解なし

PNG図

履歴

1. \begin{cases} x^2+(y-a)^2=1\\ y=x^2 \end{cases} 日本語でお願いします。
2. 上記7パターンをsympyのソースコードで教えて下さい。。結果も。
3. 代表値の計算も含めておまとめで。小数でなく真数で。
4. 分割しないで
5. 代表値の計算も含めて。
6. 7パターンをpng図で教えて下さい。
7. 上記の私の質問すべてから、Markdownのテキスト形式で、質問リストを出力して。追番を追加して。本質問も含めて。コピーできる形式で。空白行不要です。

(翌日の)Gemini先生へ

以下を微分を使ったソースコードにして下さい。結果もお願いします。
(上記ソースコード)

微分を用いたソースコード

# SymPyを用いて微分（極値・法線条件）を利用し、円と放物線の交点および接点を解くプログラム

from sympy import Symbol, Eq, solve, Rational, diff, simplify

def main():
    x = Symbol('x', real=True)
    y = Symbol('y', real=True)
    a = Symbol('a', real=True)

    print("==================================================")
    print("【1. 微分を用いた交点・接点条件（一般解）の導出】")
    print("==================================================")

    # 放物線 y = x^2 上の点 P(x, x^2) と円の中心 C(0, a) の距離の2乗を f(x) とする
    # f(x) = x^2 + (x^2 - a)^2
    f_x = x**2 + (x**2 - a)**2

    # f(x) を x で微分して極小値（法線条件）を求める
    df_dx = diff(f_x, x)
    print(f"距離の2乗 f(x) = {f_x}")
    print(f"微分 f'(x)     = {df_dx}")

    # f'(x) = 0 となる臨界点を求める: 2x * (1 + 2(x^2 - a)) = 0
    # したがって x = 0 または x^2 = a - 1/2
    critical_points = solve(df_dx, x)
    print(f"臨界点 (f'(x)=0 となる x): {critical_points}")

    # 円と放物線が接する条件は、極小値における最小距離が半径 1 に等しいこと
    # すなわち f(x) = 1 となること
    # x^2 = a - 1/2 を f(x) = 1 に代入すると (a - 1/2) + (1/2)^2 = 1 => a = 5/4
    
    print("\n--- 微分から導かれる臨界条件 ---")
    print("・x = 0  (軸上の交点):  y = 0  => a = ±1 のとき円の境界")
    print("・x ≠ 0 (左右対称な接点): a > 1/2 のとき存在し、a = 5/4 で半径1と一致（接する）")

    print("\n==================================================")
    print("【2. 7パターンの代表値における厳密解と解の個数】")
    print("==================================================")

    test_cases = [
        ("a > 5/4", Rational(2, 1)),
        ("a = 5/4", Rational(5, 4)),
        ("1 < a < 5/4", Rational(9, 8)),
        ("a = 1", Rational(1, 1)),
        ("-1 < a < 1", Rational(0, 1)),
        ("a = -1", Rational(-1, 1)),
        ("a < -1", Rational(-2, 1)),
    ]

    for label, a_val in test_cases:
        # a の値を代入した距離関数とその微分
        f_val = f_x.subs(a, a_val)
        df_val = diff(f_val, x)

        # f(x) = 1 (半径1の円周上) となる点（交点）を計算
        x_sols = solve(Eq(f_val, 1), x)
        
        # 重複を除いた実数解の x, y 座標ペアを作成
        unique_sols = []
        for x_s in x_sols:
            if x_s.is_real:
                y_s = simplify(x_s**2)
                pair = (x_s, y_s)
                if pair not in unique_sols:
                    unique_sols.append(pair)

        print(f"--- {label} (代表値: a = {a_val}) ---")
        print(f"解の個数: {len(unique_sols)} 個")
        if unique_sols:
            for s in unique_sols:
                print(f"  (x, y) = ({s[0]}, {s[1]})")
        else:
            print("  実数解なし")
        print()

if __name__ == "__main__":
    main()

実行結果

==================================================
【1. 微分を用いた交点・接点条件（一般解）の導出】
==================================================
距離の2乗 f(x) = x**2 + (x**2 - a)**2
微分 f'(x)     = 4*x**3 + x*(2 - 4*a)
臨界点 (f'(x)=0 となる x): [0, -sqrt(2*a - 1)/2, sqrt(2*a - 1)/2]

--- 微分から導かれる臨界条件 ---
・x = 0  (軸上の交点):  y = 0  => a = ±1 のとき円の境界
・x ≠ 0 (左右対称な接点): a > 1/2 のとき存在し、a = 5/4 で半径1と一致（接する）

==================================================
【2. 7パターンの代表値における厳密解と解の個数】
==================================================
--- a > 5/4 (代表値: a = 2) ---
解の個数: 2 個
  (x, y) = (-sqrt(sqrt(5) + 1), sqrt(5) + 1)
  (x, y) = (sqrt(sqrt(5) + 1), sqrt(5) + 1)

--- a = 5/4 (代表値: a = 5/4) ---
解の個数: 3 個
  (x, y) = (0, 0)
  (x, y) = (-sqrt(3)/2, 3/4)
  (x, y) = (sqrt(3)/2, 3/4)

--- 1 < a < 5/4 (代表値: a = 9/8) ---
解の個数: 4 個
  (x, y) = (-sqrt(7)/4, 7/16)
  (x, y) = (sqrt(7)/4, 7/16)
  (x, y) = (-1/2, 1/4)
  (x, y) = (1/2, 1/4)

--- a = 1 (代表値: a = 1) ---
解の個数: 3 個
  (x, y) = (0, 0)
  (x, y) = (-1, 1)
  (x, y) = (1, 1)

--- -1 < a < 1 (代表値: a = 0) ---
解の個数: 2 個
  (x, y) = (-1, 1)
  (x, y) = (1, 1)

--- a = -1 (代表値: a = -1) ---
解の個数: 1 個
  (x, y) = (0, 0)

--- a < -1 (代表値: a = -2) ---
解の個数: 0 個
  実数解なし

いつもの? sympyの実行環境と参考のおすすめです。

sympyのweb上での実行方法

SymPy Live Shellで。FreeCADのマクロは、以下で実行できません。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

python のdoc

・enumerate(iterable, start=0)¶
https://docs.python.org/ja/3/library/functions.html#enumerate

sympy のdoc