・数列は久しぶりです。「nが整数のとき、」が抜けていました。申し訳ありません。
・OEIS に本数列がありました。
後半へ
https://qiita.com/mrrclb48z/items/c0f3bda6bc875041c567

オリジナル

松本幸夫様 (0:00〜8:46 の内　0:00〜2:21) いつもお世話になっております。
↓倍数を示す問題２
https://youtu.be/JW0Q3MeZqLY

(本日の)Gemini先生の「n^3+5n が6の倍数であることの証明」

すべての整数 $n$ について、$n^3 + 5n$ は 6 の倍数になります。式変形を用いる方法と数学的帰納法を用いる方法の2通りで証明します。
(Gemini先生のステキな回答省略。抜粋)

sympy のソースコードで教えて下さい。計算結果もmarkdown の背景黒で。

・追加でmod も教えてもらいました。

[1] 式変形を用いる方法

パート1：式変形による証明（連続する3整数の積を利用）

# SymPyを用いて n^3 + 5n の式変形（連続する3整数の積）と6の倍数判定を検証するコード
import sympy as sp

# 記号 n を整数として定義
n = sp.Symbol('n', integer=True)

# 1. n^3 - n の因数分解（連続する3整数の積）
expr_part = n**3 - n
factored_part = sp.factor(expr_part)

# 2. n^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n の等式検証
expr_original = n**3 + 5*n
expr_transformed = factored_part + 6*n
is_valid = sp.simplify(expr_original - expr_transformed) == 0

# 3. すべての余り (n mod 6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5) に対する 6 の倍数判定
mod_results = {r: (r**3 + 5*r) % 6 for r in range(6)}

# 結果の表示
print("=== 式変形の検証 ===")
print(f"n^3 - n の因数分解                   : {factored_part}")
print(f"n^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n の変形結果  : {expr_transformed}")
print(f"元の式と変形後の式の等価性 (差が0か)  : {is_valid}")

print("\n=== n mod 6 における余りの検証 ===")
for r, rem in mod_results.items():
    val = r**3 + 5*r
    print(f"n ≡ {r} (mod 6) のとき: {r}^3 + 5*{r} = {val:3d} ≡ {rem} (mod 6)")

計算結果

=== 式変形の検証 ===
n^3 - n の因数分解                   : n*(n - 1)*(n + 1)
n^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n の変形結果  : n*(n - 1)*(n + 1) + 6n
元の式と変形後の式の等価性 (差が0か)  : True

=== n mod 6 における余りの検証 ===
n ≡ 0 (mod 6) のとき: 0^3 + 5*0 =   0 ≡ 0 (mod 6)
n ≡ 1 (mod 6) のとき: 1^3 + 5*1 =   6 ≡ 0 (mod 6)
n ≡ 2 (mod 6) のとき: 2^3 + 5*2 =  18 ≡ 0 (mod 6)
n ≡ 3 (mod 6) のとき: 3^3 + 5*3 =  42 ≡ 0 (mod 6)
n ≡ 4 (mod 6) のとき: 4^3 + 5*4 =  84 ≡ 0 (mod 6)
n ≡ 5 (mod 6) のとき: 5^3 + 5*5 = 150 ≡ 0 (mod 6)

[2] 数学的帰納法を用いる方法

パート2：数学的帰納法による証明（$n$ が自然数の場合）

# SymPyを用いて数学的帰納法（n^3 + 5n が6の倍数であること）の各ステップを検証するコード
import sympy as sp

# 記号 n, k, m を整数として定義
n, k, m = sp.symbols('n k m', integer=True)

# 与式 P(n) の定義
def P(n_val):
    return n_val**3 + 5*n_val

# [1] 基礎ステップ (n = 1 のとき)
p_1 = P(1)
p_1_mod_6 = p_1 % 6

# [2] 帰納ステップ (n = k+1 のときの展開と変形)
p_k_plus_1 = P(k + 1)
p_k_plus_1_expanded = sp.expand(p_k_plus_1)

# 仮定 P(k) = k^3 + 5k = 6m を用いた代入 (k^3 を 6m - 5k に置き換え)
p_k_plus_1_subbed = p_k_plus_1_expanded.subs(k**3, 6*m - 5*k)
p_k_plus_1_simplified = sp.simplify(p_k_plus_1_subbed)

# 3k(k+1) + 6(m+1) の形へ因数分解・整理
# 3k(k+1) が常に 6 の倍数になることの検証 (k(k+1) は偶数)
k_term = 3*k*(k + 1)
# 任意の整数 k に対して 3k(k+1) % 6 が常に 0 になるか確認
k_term_mod_6_check = all((3*i*(i + 1)) % 6 == 0 for i in range(6))

# 結果の表示
print("=== [1] 基礎ステップ (n = 1) ===")
print(f"P(1) = 1^3 + 5*1 = {p_1}")
print(f"P(1) mod 6 = {p_1_mod_6} (6の倍数であるか: {p_1_mod_6 == 0})")

print("\n=== [2] 帰納ステップ (n = k + 1) ===")
print(f"P(k + 1) の展開結果 : {p_k_plus_1_expanded}")
print(f"仮定 (k^3 = 6m - 5k) を代入後 : {p_k_plus_1_simplified}")
print(f"6で括った形 : 6*m + 3*k*(k + 1) + 6")
print(f"3k(k+1) が常に6の倍数か (k mod 6 全判定) : {k_term_mod_6_check}")

計算結果

=== [1] 基礎ステップ (n = 1) ===
P(1) = 1^3 + 5*1 = 6
P(1) mod 6 = 0 (6の倍数であるか: True)

=== [2] 帰納ステップ (n = k + 1) ===
P(k + 1) の展開結果 : k**3 + 3*k**2 + 8*k + 6
仮定 (k^3 = 6m - 5k) を代入後 : 3*k**2 + 3*k + 6*m + 6
6で括った形 : 6*m + 3*k*(k + 1) + 6
3k(k+1) が常に6の倍数か (k mod 6 全判定) : True

整数ですけど

整数ですけど、負の数だとソースコードが変ってきますか。

いいえ、負の数であってもソースコードを変更する必要はありません。
数学的にもプログラム的にも、「すべての整数 $n$（正・0・負）」に対してそのまま成り立ちます。

式変形（パート1）の観点...
数学的帰納法（パート2）の観点...

負の数も含めた検証 SymPy コード

# 負の数も含めた整数全域での検証
import sympy as sp

n = sp.Symbol('n', integer=True)
expr = n**3 + 5*n

# -5 から 5 までの負の数・0・正の数を評価
results = {i: expr.subs(n, i) for i in range(-5, 6)}

print("=== 負の数・0・正の数での代入結果と 6 の倍数判定 ===")
for val, res in results.items():
    is_divisible = (res % 6 == 0)
    print(f"n = {val:2d} : {val:2d}^3 + 5*({val:2d}) = {res:4d} (6の倍数: {is_divisible})")

=== 負の数・0・正の数での代入結果と 6 の倍数判定 ===
n = -5 : -5^3 + 5*(-5) = -150 (6の倍数: True)
n = -4 : -4^3 + 5*(-4) =  -84 (6の倍数: True)
n = -3 : -3^3 + 5*(-3) =  -42 (6の倍数: True)
n = -2 : -2^3 + 5*(-2) =  -18 (6の倍数: True)
n = -1 : -1^3 + 5*(-1) =   -6 (6の倍数: True)
n =  0 :  0^3 + 5*( 0) =    0 (6の倍数: True)
n =  1 :  1^3 + 5*( 1) =    6 (6の倍数: True)
n =  2 :  2^3 + 5*( 2) =   18 (6の倍数: True)
n =  3 :  3^3 + 5*( 3) =   42 (6の倍数: True)
n =  4 :  4^3 + 5*( 4) =   84 (6の倍数: True)
n =  5 :  5^3 + 5*( 5) =  150 (6の倍数: True)

mod を　使ったsympy のソースコード　を教えて下さい。

# SymPyを用いて n^3 + 5n が 6 の倍数であることを mod (剰余) で検証するコード
import sympy as sp

# 記号 n を整数として定義
n = sp.Symbol('n', integer=True)

# 与式
expr = n**3 + 5*n

# 1. 式全体に対する mod 6 計算（合同式での簡略化: 5n ≡ -n mod 6 より n^3 - n ≡ (n-1)n(n+1) ≡ 0）
mod_expr = sp.Mod(expr, 6)

# 2. n を 6 で割った余り (0, 1, 2, 3, 4, 5) ごとの評価
mod_results = {r: sp.Mod(expr.subs(n, r), 6) for r in range(6)}

# 3. 負の数を含む任意の整数（例: -5 ～ 5）での Mod 評価
all_check = {k: sp.Mod(expr.subs(n, k), 6) for k in range(-5, 6)}

# 結果の表示
print("=== SymPy Mod 関数による検証 ===")
print(f"元式                  : {expr}")
print(f"Mod(n^3 + 5n, 6) 構造 : {mod_expr}")

print("\n=== n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 6) での検証 ===")
for r, res in mod_results.items():
    print(f"n ≡ {r} (mod 6) のとき: Mod({r}^3 + 5*{r}, 6) = {res}")

print("\n=== 負の数・0・正の数 (n = -5 ～ 5) での検証 ===")
print(f"すべての余りが 0 か   : {all(res == 0 for res in all_check.values())}")

計算結果

=== SymPy Mod 関数による検証 ===
元式                  : n**3 + 5*n
Mod(n^3 + 5n, 6) 構造 : Mod(n**3 + 5*n, 6)

=== n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 6) での検証 ===
n ≡ 0 (mod 6) のとき: Mod(0^3 + 5*0, 6) = 0
n ≡ 1 (mod 6) のとき: Mod(1^3 + 5*1, 6) = 0
n ≡ 2 (mod 6) のとき: Mod(2^3 + 5*2, 6) = 0
n ≡ 3 (mod 6) のとき: Mod(3^3 + 5*3, 6) = 0
n ≡ 4 (mod 6) のとき: Mod(4^3 + 5*4, 6) = 0
n ≡ 5 (mod 6) のとき: Mod(5^3 + 5*5, 6) = 0

=== 負の数・0・正の数 (n = -5 ～ 5) での検証 ===
すべての余りが 0 か   : True

n^3+５*n は,　オンライン整数列辞典　にありますか

OEIS ID: A004006

(おまけ)Gemini先生へ。履歴。

・重複していますが、そのままです。

1. n^3+５*n は,6の倍数である。
2. 2つに分けて。
3. [1]をsympy のソースコードで教えて下さい。計算結果もmarkdown の背景黒で。
4. [2]をsympy のソースコードで教えて下さい。計算結果もmarkdown の背景黒で。
5. 整数ですけど、負の数だとソースコードが変ってきますか。
6. n^3+５*n は, オンライン整数列辞典 にありますか
7. url を教えて
8. 間違っています
9. mod を　使ったsympy のソースコード　を教えて下さい。
10. 上記の私の質問すべてから、Markdownのテキスト形式で、質問リストを出力して。追番を追加して。本質問も含めて。コピーできる形式で。空白行不要です。

いつもの? sympyの実行環境と参考のおすすめです。

sympyのweb上での実行方法

SymPy Live Shellで。FreeCADのマクロは、以下で実行できません。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

sympy のdoc

Qiita内で

・PR
数列といえば。tagもありますが、シツコイゾーです。

wikipedia で

・後半で

・OEISで
https://en.wikipedia.org/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences