(本日の)ChatGPT先生へ

テンソルTの固有値と固有ベクトルについて教えて下さい。行列との違いを教えて下さい。

(表示を省略)

上記をsympyで教えて下さい。

以下では、
1.行列の固有値・固有ベクトル
2.テンソル（2階テンソル）の固有値・固有ベクトル
3.座標変換しても固有値が変わらないこと
を SymPy で確認します。

1. 行列の固有値・固有ベクトル

from sympy import *

A = Matrix([
    [2, 1],
    [1, 2]
])

print("A =")
pprint(A)

print("\n固有値")
pprint(A.eigenvals())

print("\n固有ベクトル")
for val, mult, vecs in A.eigenvects():
    print("\nλ =", val)
    for v in vecs:
        pprint(v)

実行結果

固有値

{3: 1, 1: 1}

固有ベクトル

λ = 3

⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣1⎦

λ = 1

⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎣ 1⎦

2. テンソルとして考える

from sympy import *

T = Matrix([
    [2, 1],
    [1, 2]
])

v = MatrixSymbol('v', 2, 1)
lam = symbols('lambda')

print("T =")
pprint(T)

print("\n固有方程式")

charpoly = factor(det(T - lam*eye(2)))
pprint(Eq(charpoly, 0))

実行結果

(λ - 3)(λ - 1) = 0

3. 固有値問題を添字表示で確認

from sympy import *

T11,T12,T21,T22 = symbols(
    'T11 T12 T21 T22'
)

vx,vy = symbols('vx vy')
lam = symbols('lambda')

T = Matrix([
    [T11,T12],
    [T21,T22]
])

v = Matrix([
    [vx],
    [vy]
])

eq = T*v - lam*v

print("Tv - λv =")
pprint(eq)

実行結果

⎡T₁₁⋅vx + T₁₂⋅vy - λ⋅vx⎤
⎢                      ⎥
⎣T₂₁⋅vx + T₂₂⋅vy - λ⋅vy⎦

4. 座標変換（相似変換）

from sympy import *

T = Matrix([
    [2,1],
    [1,2]
])

P = Matrix([
    [1,1],
    [0,1]
])

Tp = simplify(P.inv()*T*P)

print("T' =")
pprint(Tp)

実行結果

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣1  3⎦

5. 固有値が変わらないことを確認

from sympy import *

T = Matrix([
    [2,1],
    [1,2]
])

P = Matrix([
    [1,1],
    [0,1]
])

Tp = simplify(P.inv()*T*P)

print("T の固有値")
pprint(T.eigenvals())

print("\nT' の固有値")
pprint(Tp.eigenvals())

実行結果

T の固有値
{3: 1, 1: 1}

T' の固有値
{3: 1, 1: 1}

6. 応力テンソル（構造力学）

from sympy import *

sigma = Matrix([
    [100,30],
    [30,50]
])

print("応力テンソル")
pprint(sigma)

print("\n主応力")

for val, mult, vecs in sigma.eigenvects():
    print("\nσ =", N(val))
    pprint(vecs[0])

実行結果

σ = 114.051...
σ = 35.949...

7. SymPyで「テンソル」と「行列」の違いを実感する例

from sympy import *

T = Matrix([
    [2,1],
    [1,2]
])

P = Matrix([
    [1,1],
    [0,1]
])

Tp = simplify(P.inv()*T*P)

print("元の成分")
pprint(T)

print("\n座標変換後の成分")
pprint(Tp)

print("\n固有値")
pprint(T.eigenvals())

print("\n固有値(変換後)")
pprint(Tp.eigenvals())

実行結果

元の成分

⎡2  1⎤
⎢    ⎥
⎣1  2⎦

座標変換後の成分
⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣1  3⎦

固有値
{1: 1, 3: 1}


固有値(変換後)
{1: 1, 3: 1}

いつもと違うおすすめです。

Qiita内

wikipedia内

sympy doc

行列の固有値・固有ベクトル
固有値が変わらないことを確認

eigenvals(
error_when_incomplete=True,
**flags,
)