「テンソル場の微分の第1、第2の定義の違いを教えて下さい。」をAI先生へ。sympyで教えて下さい。

(本日の)ChatGPT先生へ

テンソル場の微分の第1、第2の定義の違いを教えて下さい。

(以下抜粋) 小見出しを表示。何となくわかった部分のみ表示。

ざっくり言うと、
第1の定義：
「成分を座標で微分する」
第2の定義：
「幾何学的に意味を保つように接続（connection）を入れて微分する」
です。

1. 第1の定義（単なる偏微分）...
2. 第2の定義（共変微分）...
   ベクトル場で比較...
   共変ベクトルでは符号が変わる...
   一般テンソル...
   直感...
   SymPy 的には...
   本当に重要な一言...

(続けて)ChatGPT先生へ

sympy でそれぞれの説明お願いします。

1.準備

第1の定義（偏微分）

from sympy import *

# 座標
r, th = symbols('r th')

# ベクトル成分
Vr  = r**2
Vth = r*th

# 偏微分
dVr_dr   = diff(Vr, r)
dVr_dth  = diff(Vr, th)

dVth_dr  = diff(Vth, r)
dVth_dth = diff(Vth, th)

print("∂Vr/∂r    =", dVr_dr)
print("∂Vr/∂θ    =", dVr_dth)

print("∂Vθ/∂r    =", dVth_dr)
print("∂Vθ/∂θ    =", dVth_dth)

2.極座標では基底が回転する...
3.第2の定義（共変微分）...
SymPyコード

from sympy import *

# 座標
r, th = symbols('r th')

# ベクトル成分
Vr  = r**2
Vth = r*th

# 共変微分
# ∇θ Vr = ∂θ Vr + Γr_θk Vk

nabla_th_Vr = (
    diff(Vr, th)
    + (-r)*Vth
)

# ∇r Vθ = ∂r Vθ + Γθ_rθ Vθ

nabla_r_Vth = (
    diff(Vth, r)
    + (1/r)*Vth
)

print("∇θ Vr =", simplify(nabla_th_Vr))
print("∇r Vθ =", simplify(nabla_r_Vth))

第2の定義

from sympy import *

# 座標
r, th = symbols('r th')

# ベクトル成分
Vr  = r**2
Vth = r*th

# 共変微分
# ∇θ Vr = ∂θ Vr + Γr_θk Vk

nabla_th_Vr = (
    diff(Vr, th)
    + (-r)*Vth
)

# ∇r Vθ = ∂r Vθ + Γθ_rθ Vθ

nabla_r_Vth = (
    diff(Vth, r)
    + (1/r)*Vth
)

print("∇θ Vr =", simplify(nabla_th_Vr))
print("∇r Vθ =", simplify(nabla_r_Vth))

比較表...
SymPyでの本質...
幾何学的イメージ...
一番重要な式

???

いつもと違うおすすめです。

Qiita内