【数学】FizzBuzz関数

前書き

fizzbuzzについては事前にググってください。

問題

\begin{align}
&\mathbb{N} \stackrel{f}{\to} \mathbb{N} \cup \{fizz, \ buzz, \ fizzbuzz\} \\
&x \in \mathbb{N}に対して \\
&xが3で割り切れる場合：f(x) = fizz \\
&xが5で割り切れる場合：f(x) = buzz \\
&ただしxが3と5で割り切れる場合：f(x) = fizzbuzz \\
&それ以外の場合：f(x) = x \\
&となる関数fを求めよ。
\end{align}

$\mathbb{N}$は1オリジン（fizzbuzzって1から始まるイメージがあるから）
$\mathbb{N} \cap \{fizz, \ buzz, \ fizzbuzz\} = \phi$
$x \neq y, \ y \neq z, \ z \neq x$を満たす$\forall x,y,z \in \{fizz, \ buzz, \ fizzbuzz\}$に対して$x + y \neq z, \ x \times y \neq z$
$\forall x \in \{fizz, \ buzz, \ fizzbuzz\}$に対して$0 \times x = 0, \ 1 \times x = x$とする。
$fizz, \ buzz, \ fizzbuzz$ってなんだよって方は四元数の$i,j,k$と思ってください。

解く

f(x) = g_0(x)x + g_1(x)fizz + g_2(x)buzz + g_3(x)fizzbuzz \\
g_0(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x \notin 3\mathbb{N} \cup 5\mathbb{N}) \\
0 & (x \in 3\mathbb{N} \cup 5\mathbb{N})
\end{array}
\right. \\
g_1(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x \in 3\mathbb{N} \setminus 5\mathbb{N}) \\
0 & (x \notin 3\mathbb{N} \setminus 5\mathbb{N})
\end{array}
\right. \\
g_2(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x \in 5\mathbb{N} \setminus 3\mathbb{N}) \\
0 & (x \notin 5\mathbb{N} \setminus 3\mathbb{N})
\end{array}
\right. \\
g_3(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x \in 3\mathbb{N} \cap 5\mathbb{N}) \\
0 & (x \notin 3\mathbb{N} \cap 5\mathbb{N})
\end{array}
\right. \\

上記を満たす$g_0, g_1, g_2, g_3$を求めればよい。

h_3(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x \in 3\mathbb{N}) \\
0 & (x \notin 3\mathbb{N})
\end{array}
\right.
\quad
h_5(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x \in 5\mathbb{N}) \\
0 & (x \notin 5\mathbb{N})
\end{array}
\right.

と定義すると

g_0 = (1 - h_3)(1 - h_5) \\
g_1 = h_3(1 - h_5) \\
g_2 = h_5(1 - h_3) \\
g_3 = h_3h_5

となるので$h_3,h_5$を求めればよい。

h_n(x) = \lfloor \mid \sin{\frac{2x+n}{2n}\pi} \mid \rfloor

とするとnの倍数で1、それ以外で0になる。

以上より

\begin{eqnarray}
f(x) &=& (1-h_3(x))(1-h_5(x))x + h_3(x)(1 - h_5(x))fizz + h_5(x)(1 - h_3(x))buzz + h_3(x)h_5(x)fizzbuzz \\
&=& x + (fizz - x)\lfloor \mid \sin{\frac{2x+3}{6}\pi} \mid \rfloor + (buzz - x)\lfloor \mid \sin{\frac{2x+5}{10}\pi} \mid \rfloor
+ (x - fizz - buzz + fizzbuzz)\lfloor \mid \sin{\frac{2x+3}{6}\pi} \mid \rfloor \lfloor \mid \sin{\frac{2x+5}{10}\pi} \mid \rfloor
\end{eqnarray}

となる。（展開する必要なかったかな…）

確認用プログラム（ES6）

const f = n => x => Math.floor(Math.abs(Math.sin((2*x+n)/(2*n)*Math.PI)));

const f1 = f(3);
const f2 = f(5);

for (let x = 1; x <= 30; x++) {
    const num1 = f1(x);
    const num2 = f2(x);
    
    const num = (1-num1)*(1-num2)*x || num1*(1-num2)&&"fizz" || num2*(1-num1)&&"buzz" || num1*num2&&"fizzbuzz"; 
    
    console.log(x + "\t" + num);
}

実行結果

1       1
2       2
3       fizz
4       4
5       buzz
6       fizz
7       7
8       8
9       fizz
10      buzz
11      11
12      fizz
13      13
14      14
15      fizzbuzz
16      16
17      17
18      fizz
19      19
20      buzz
21      fizz
22      22
23      23
24      fizz
25      buzz
26      26
27      fizz
28      28
29      29
30      fizzbuzz