問題

\displaylines{
f(0) = 1 \quad f(1) = 1 \quad f(2) = 4 \\
f(3) = 5 \quad f(4) = 1 \quad f(5) = 4
}

を満たす多項式関数$f(x) \ (x \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \})$を求めよ。

求める

$x \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}$として

\displaylines{
f(x) = g_0(x) + g_1(x) + 4g_2(x) + 5g_3(x) + g_4(x) + 4g_5(x) \ \cdots i

\\ \\

g_0(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x = 0) \\
0 & (x \neq 0)
\end{array}
\right.

\quad

g_1(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x = 1) \\
0 & (x \neq 1)
\end{array}
\right.

\quad

g_2(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x = 2) \\
0 & (x \neq 2)
\end{array}
\right.

\\

g_3(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x = 3) \\
0 & (x \neq 3)
\end{array}
\right.

\quad

g_4(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x = 4) \\
0 & (x \neq 4)
\end{array}
\right.

\quad

g_5(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x = 5) \\
0 & (x \neq 5)
\end{array}
\right.
}

上記の多項式関数$f$は問題の解を満たす。
よって多項式関数$g_n \ (n \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \})$を求めればよい。

せっかちなのでいきなり解を書くが、以下の多項式関数は求めている$g_n$を満たす。

g_n(x) = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(-1)^{5-n}n!(5-n)!(x-n)}

\quad (n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}) \ \cdots ii

確認用プログラム（ES6）

const fact = x => x === 0 ? 1 : x * fact(x - 1);

function g(n) {
    return function(x) {
        let bunsi = 1;
        for (let i = 0; i <= 5; i++) {
            if (i !== n) bunsi *= x - i;
        }
        const bunbo = Math.pow(-1, 5 - n) * fact(n) * fact(5 - n);
        return bunsi / bunbo;
    }
}

for (let n = 0; n <= 5; n++) {
    const gn = g(n)
    for (let x = 0; x <= 5; x++) {
        const rtn = gn(x);
        if (rtn === (x === n ? 1 : 0)) console.log(`g(${n})(${x}) -> ${rtn}: やりますねえ！`);
        else console.log(`g(${n})(${x}) -> ${rtn}: ダメみたいですね・・・`);
    }
}

実行結果は省略

$i, ii$より

f(x) = \frac{1}{120}(13x^5 - 120x^4 + 295x^3 - 60x^2 - 128x + 120)

確認用プログラム（ES6）

const yaju = x => (13 * Math.pow(x, 5) - 120 * Math.pow(x, 4) + 295 * Math.pow(x, 3) - 60 * Math.pow(x, 2) - 128 * x + 120) / 120;

console.log(yaju(0)); // 1
console.log(yaju(1)); // 1
console.log(yaju(2)); // 4
console.log(yaju(3)); // 5
console.log(yaju(4)); // 1
console.log(yaju(5)); // 4

以上より野獣先輩は多項式関数である。
Q.E.D 証明終了

あとがき

昔、某掲示板で以下のプログラムを見て感銘を受け、感化されて今回の数式を求めました。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	int i;
	double t;
	for (i=0;i<10;i++) { 
		t = 0.6283*i; 
		putchar(77+7*cos(t+3)+cos(t*2+4.6)+cos(t*3+4)+3.4*cos(t*4+0.3)); 
	} 
	return 0;
}

何度見てもすごい。どうやってこの数式を求めたのか分からない。

（追記）
↑の元ネタを発見