１．この記事でまとめたいこと
2つの母集団から無作為に標本を抽出し，その標本から母平均に差があるかの検定を行う方法。
絵でいうと下記。
２．まとめた背景
参考書などで勉強していたところ，母分散の前提として下記3つのケースの検定が出てきた。
- 母分散既知
- 母分散未知 ただし，${\sigma_X }^2 ={\sigma_Y }^2$
- 母分散未知 ・・・Welchのt検定
それぞれのケースで，新たに定義する確率変数や，その確率変数が従う分布（標準正規分布/t分布）が異なっており，覚えられなかった。
基本となる出発点と，3つのケースの対比という見方をすれば，理解できそうなのでまとめた。
３．基本となる出発点
母平均の差の検定をするには，標本平均の差（$\bar{X} -\bar{Y}$）から求められそうなことはわかる。
そこで，確率変数$\bar{X} -\bar{Y}$の分布を考えると，下記となる。
- 分布：正規分布・・・X,Yそれぞれ正規分布なので
- 平均：$\mu_X -\mu_Y$・・・確率変数から自明
- 分散：$\frac{{\sigma_X }^2 }{m}+\frac{{\sigma_Y }^2 }{n}$・・・XとYは独立のため，分散はそれぞれの和になる
つまり，下記確率変数Tを定義して，確率変数$\bar{X} -\bar{Y}$を標準化すると，Tは標準正規分布N(0,1)に従う。
T=\frac{\left(\bar{X} -\bar{Y} \right)-\left(\mu_X -\mu_Y \right)}{\sqrt{\frac{{\sigma_X }^2 }{m}+\frac{{\sigma_Y }^2 }{n}}}
なお，ココの導出はモーメント母関数を使用することでも可能。マセマ出版社の参考書 P.201参照
この確率変数Tを念頭に置くと，3つのケースがすっと頭に入ると思う。
４．3つのケースで考えると
それぞれのケースの対比を取って考えると，下図のようにまとめることができる。
ポイントとしてはこのあたりだと思う。
- ①～⑤の流れは全て共通
- ②で帰無仮説（$\mu_X =\mu_Y$）を前提とするため，確率変数から$\mu_X -\mu_Y$は消える
- 母分散未知のケースは母分散を不偏分散的なもので代用するため，確率変数はt分布に従う※
※の部分は，別記事の★2参照
５．参考文献
・マセマ出版社 統計学キャンパス・ゼミ 改訂5 P.200-211
https://www.mathema.jp/product/統計学キャンパス・ゼミ-改訂5/
・ヨビノリ 確率統計 推定・検定入門
https://www.youtube.com/playlist?list=PLDJfzGjtVLHmx7qMP410-9gx0weC9d90X