プロジェクト自体を.NET Core 3.0に対応させていれば、あとは.travis.ymlでdotnetのバージョンを3.0.100に設定するだけ。

.travis.yml

# 設定の例
language: csharp
dotnet: 3.0.100
mono: none
env:
  global:
    - DOTNET_SKIP_FIRST_TIME_EXPERIENCE: 1
    - DOTNET_CLI_TELEMETRY_OPTOUT: 1
script:
  - dotnet restore
  - dotnet test MyProject

バージョンに使える数字はdotnet --infoコマンドで調べることができる。将来新しいバージョンが出たときにはそれで調べるとよさそう。