SSRでやるべきことではないはずだし、一時的なものだがググっても出なかったので。

import Script from 'next/script'として大文字の<Script>でやっても、</body>タグ直前に検索フォームは出るが検索はできない。通常の小文字の<script>タグを使い、閉じタグ？の</script>を消して<script src="" />という形にすると上手く行った。

index.tsx

          <script type="text/javascript" 
              id="bcs_js_snippet"
            src="https://ui.customsearch.ai/api/ux/rendering-js?customConfig=xxx&market=ja-JP&version=latest&q=&setLang=JA&safeSearch=Strict"
          />