SSRでやるべきことではないはずだし、一時的なものだがググっても出なかったので。
import Script from 'next/script'
として大文字の<Script>
でやっても、</body>
タグ直前に検索フォームは出るが検索はできない。通常の小文字の<script>
タグを使い、閉じタグ?の</script>
を消して<script src="" />
という形にすると上手く行った。
index.tsx
<script type="text/javascript"
id="bcs_js_snippet"
src="https://ui.customsearch.ai/api/ux/rendering-js?customConfig=xxx&market=ja-JP&version=latest&q=&setLang=JA&safeSearch=Strict"
/>