JavaScript、関数の書き方沢山ありすぎませんか？
コールバック関数で関数に関数を渡したりする関係で、どんどん省略形が誕生していったとのことですが・・。

アロー関数 - JavaScript | MDNのサイトを元に、少しずつ理解した時のメモです。
コードは全てプレイグラウンドで実行できますので、試してみてください。

まずは基本形です。

//関数の定義
let hello = function(name) {
 return('hello! ' + name) //処理内容
}
//処理の実行
console.log(hello('takashi'));

アロー関数という=>を引数の後ろに書くことで、functionが省略できます。

//関数の定義
let hello = (name) => {
 return('hello! ' + name) //処理内容
}
//処理の実行
console.log(hello('takashi'));

そして、更に省略できます。

//関数の定義
let hello = (name) => 'hello! ' + name //処理内容
//処理の実行
console.log(hello('takashi'));

更にスッキリさせます。

//関数の定義
let hello = name => 'hello! ' + name //処理内容
//処理の実行
console.log(hello('takashi'));

逆に、引数がない場合、丸括弧を書かねばいけません:

//関数の定義
let hello = () => 'hello! ' + 'takashi' //処理内容
//処理の実行
console.log(hello());

以上です。