1.個別IDを取得

activity_main.xml

<Chronometer
        android:layout_width="wrap_content"
        android:layout_height="wrap_content"
        android:id="@+id/timer" />

MainActivity.java

Chronometer timer = (Chronometer) findViewById(R.id.timer);

2.表示形式を設定

MainActivity.java

timer.setFormat("%s");

今回はクイズアプリでそれほど時間のかかるものを想定していなく、
分秒単位で図れればいいので"%s"を設定。（画像と同じ）

~~ちなみに、~~
~~時単位でも図りたい場合は、"H:MM:SS"と記述すればいいはず。。。~~
（2016/06/16修正）
"%s"を指定すれば、経過時間次第で"MM:SS"や"H:MM:SS"という形式になる。

MainActivity.java

timer.start();

単純ですね！
クイズアプリだとスタートボタン押された時ですかね。

MainActivity.java

timer.stop();

こちらも単純ですね！
問題数が規定の回数に達したら止めてあげればいいですね。

デザインは非常に簡素なので、
デザインにもこだわりたい場合はあまりおすすめできないんでしょうかね...

以上です。