Composer でプライベートリポジトリを require している場合、GitHub Actions で普通に

- name: Install dependencies
  run: composer install --prefer-dist --no-progress

としていると認証エラーが発生します。（当然ですよね）

Failed to clone the git@github.com:foo/bar.git repository, 
try running in interactive mode so that you can enter your GitHub credentials

これを解決するためには、プライベートリポジトリを利用するためのアクセストークンを渡してあげる必要があります。アクセストークンを Actions に書いてコミットするなんてことは絶対しちゃいけないので、secret を利用します。なので全体では次のような手順が必要です。

GitHub のアクセストークンを生成する
リポジトリの secret にそのトークンを保存する
Actions の job 定義の中で環境変数をセットする

また、アクセストークンが期限切れになった（なりそうな）時には更新する必要があります。
更新は次のような手順が必要です。

GitHub のアクセストークンを更新する
リポジトリの secret のトークンを更新する

以下、それぞれの手順を説明します。

新たに設定する

1. GitHub のアクセストークンを生成する

GitHub Actions 用のアクセストークンを生成します。プライベートリポジトリを require しているので、すでにアクセストークンを生成してローカルの Composer で使っていることと思いますが、ここでは新たに生成します。
次のリンクから生成可能です。

GitHub: アクセストークンにアクセスします
Generate new token をクリックします
Note の欄には何のためのトークンかを説明する文章を入れましょう。適当に入れると後でわけわからなくなります
Select scopes の欄では、repo にチェックを入れます
Generate token ボタンをクリックして生成します
Personal Access Token のページに戻りますが、そこにアクセストークンが表示されています
コピーボタンをクリックしてトークンをクリップボードにコピーします (ここでコピーし忘れると二度と見ることはできませんので注意が必要です)

トークンのコピーを忘れた場合は更新の時の手順に従ってトークンの再生成を行なってください。

2. リポジトリの secret にそのトークンを保存する

生成したトークンは、リポジトリの Actions secret に保存しておきます。

Actions を設定したいと思っているリポジトリを開き、Setting > Secrets and variables > Actions と選択します
New repository secret をクリックします
Name の欄に名前（ここでは COMPOSER_AUTH としますが別の名前でも構いません）を入れ Value の欄にトークンをペーストします
Add secret ボタンをクリックして保存します

3. Actions の job 定義の中で環境変数をセットする

次のように、COMPOSER_AUTH 環境変数に secret の値を含んだ文字列をセットします。この前のセクションで secret の名前を変更した場合は、secrets.COMPOSER_AUTH の部分もそれに合わせて変更してください。

  - name: Install dependencies
    env:
      COMPOSER_AUTH: '{"github-oauth": {"github.com": "${{secrets.COMPOSER_AUTH}}"} }'
    run:
      composer install --prefer-dist --no-progress

以上で完了です。

更新する

1. GitHub のアクセストークンを更新する

コピーを忘れた場合は、もう一度再生成をします。

2. リポジトリの secret のトークンを更新する

対象のリポジトリを開き、Setting > Secrets and variables > Actions と選択します
Repoitory secrets の一覧に設定済みの secret があると思いますので、その Update ボタンをクリックします
Value の欄にトークンをペーストします
Update secret ボタンをクリックして保存します

以上で更新は完了です。