量子のQの字も知らない人間が３量子ビットでのGHZ状態を計算してみた

続編はこちら：３量子ビットでのGHZ状態を行列計算してみた

会社の先輩がすごい量子の人（語弊）で、憧れて量子コンピュータの勉強を始めたものの、量子学どころか物理をまともに学習していないのでちんぷんかんぷんな日々です。

そんな私ですが、湊雄一郎さん( @YuichiroMinato )の「いちばんやさしい量子コンピューターの教本」で勉強をしていたところ、１つの回路が目に止まりました。

GHZ状態

「量子もつれ」のトピックで紹介されていたGHZ(グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態)
回路は以下のようになります。

この回路では出力が $\left|000\right>$ と $\left|111\right>$ に偏るらしいです。
見ただけだとよくわからないので、とりあえず手計算していきましょう！

気合の手計算

先輩からご教授をいただきつつ、式に落とし込んでいきます。
回路を以下のようなフェーズに分け、それぞれ計算式を書いていきましょう。

⓪ 初期状態

計算用に見やすくします。

\begin{align}
&\left|000\right> \\ \\

&= \left|0\right> \left|0\right> \left|0\right>
\end{align}

① 量子もつれの準備

１量子ビット目と２量子ビット目にアダマールゲート、３量子ビット目にXパウリゲートを適用します。

\begin{align}

& H\left|0\right> H\left|0\right> X\left|0\right> \\ \\

&= \frac{\left|0\right> + \left|1\right>}{\sqrt{2}} \frac{\left|0\right> + \left|1\right>}{\sqrt{2}} \left|1\right> \\ \\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|0\right> + \left|1\right> \bigr) \bigl( \left|0\right> + \left|1\right> \bigr) \left|1\right> \\ \\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|001\right> + \left|011\right> + \left|101\right> + \left|111\right> \bigr) \\
\end{align}

② １つ目のC-notゲート

C-notゲートの書き方が分からなかったので、自己流です。
２量子ビット目をターゲットに、３量子ビット目を反転させます。

\begin{align}

&\frac{1}{2} \bigl( \left|0\underline{0}1\right> + \left|0\underline{1}1\right> + \left|1\underline{0}1\right> + \left|1\underline{1}1\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|001\right> + \left|010\right> + \left|101\right> + \left|110\right> \bigr) \\
\end{align}

③ ２つ目のC-notゲート

１量子ビット目をターゲットに、３量子ビット目を反転させます。

\begin{align}
& \frac{1}{2} \bigl( \left|\underline{0}01\right> + \left|\underline{0}10\right> + \left|\underline{1}01\right> + \left|\underline{1}10\right> \bigr) \\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|001\right> + \left|010\right> + \left|100\right> + \left|111\right> \bigr) \\
\end{align}

④ 全量子ビットにアダマールゲート

\begin{align}
&\frac{1}{2} \bigl( \left|001\right> + \left|010\right> + \left|100\right> + \left|111\right> \bigr) \\　\\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|0\right>\left|0\right>\left|1\right> + \left|0\right>\left|1\right>\left|0\right> + \left|1\right>\left|0\right>\left|0\right> + \left|1\right>\left|1\right>\left|1\right> \bigr) \\ \\

&\rightarrow \frac{1}{2} \bigl( H\left|0\right>H\left|0\right>H\left|1\right> + H\left|0\right>H\left|1\right>H\left|0\right> + H\left|1\right>H\left|0\right>H\left|0\right> + H\left|1\right>H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \Bigl( H\left|0\right>\bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr) + H\left|1\right> \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \Bigl( \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr) + \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr) \Bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \Bigl( \underline{\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr)}_{\hspace{2pt} a} + \underline{\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr)}_{\hspace{2pt} b} \Bigr) \\ \\

\end{align}

$a$式と$b$式でそれぞれ計算します。

④ a式

\begin{align}

& \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}}\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}}  + \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}}\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|00\right>-\left|01\right>+\left|10\right>-\left|11\right>}{2}  + \frac{\left|00\right>+\left|01\right>-\left|10\right>-\left|11\right>}{2} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|00\right>-\left|11\right>+\left|00\right>-\left|11\right>}{2} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\left|00\right>-\left|11\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|0\right>+\left|1\right>\bigr)\bigl(\left|00\right>-\left|11\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|000\right>-\left|011\right>+\left|100\right>-\left|111\right> \bigr) \\ \\

\end{align}

④ b式

\begin{align}

& \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}}\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}}  + \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}}\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|00\right>+\left|01\right>+\left|10\right>+\left|11\right>}{2}  + \frac{\left|00\right>-\left|01\right>-\left|10\right>+\left|11\right>}{2} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|00\right>+\left|11\right>+\left|00\right>+\left|11\right>}{2} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\left|00\right>+\left|11\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|0\right>-\left|1\right>\bigr)\bigl(\left|00\right>+\left|11\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|000\right>+\left|011\right>-\left|100\right>-\left|111\right> \bigr) \\ \\

\end{align}

④ 続き

\begin{align}
& \frac{1}{2} \Bigl( \underline{\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr)}_{\hspace{2pt} a} + \underline{\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr)}_{\hspace{2pt} b} \Bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \Bigl( \underline{\frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|000\right>+\left|011\right>-\left|100\right>-\left|111\right> \bigr)}_{\hspace{2pt}a} + \underline{\frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|000\right>+\left|011\right>-\left|100\right>-\left|111\right> \bigr)}_{\hspace{2pt}b} \Bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2\sqrt{2}} \bigl( \left|000\right>-\left|111\right>+\left|000\right>-\left|111\right>  \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \left|000\right>-\left|111\right>  \bigr) \\ \\

\end{align}

もつれた！

\frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \left|000\right>-\left|111\right>  \bigr) \\ \\

見事に導出されました！
ノートに書いていたときは$a$式にミスがありうまく導出されなかったのですが、Qiitaに清書する過程で気付けました。
思いの外、手計算でも出てくるもんなんですね…
今後は行列式でも解けるようにちゃんと勉強していきたいと思います、中身の理解も深めていきたいですね。