あなたならどうする？確率に挑む「モンティ・ホール問題」

モンティ・ホール問題は、確率の直感を試す有名なパズルです。この問題はアメリカのゲームショー "Let's Make a Deal" に由来しています。本記事では、問題の内容と解き方を簡単に説明します。

ゲームのルールを理解しよう

あなたは 3つのドア の中から1つを選びます。そのうち 1つのドアの後ろ には車が隠されており、残り 2つのドア にはヤギがいます。ルールは次の通りです：

あなたは3つのドアから 1つを選びます。
モンティ・ホール（司会者）は、選ばなかった2つのドアの中から 必ずヤギがいるドア を1つ開けます。
モンティはこう尋ねます：
- 「最初に選んだドアをそのままにしますか？それとも別のドアに切り替えますか？」

例えば：

あなたが最初に ドア1 を選びます。
モンティが ドア2（ヤギ）を開けます。
あなたは ドア1 をそのままにするか、残りの ドア3 に切り替えるか選べます。

このとき「ドアを切り替えた方が得なのか？」という疑問が生まれます。

選択と結果

あなたは 3つのドア の中から 1つを選びます。もし選んだドアの後ろに車があれば 車を獲得 できますが、ヤギならばヤギを持ち帰ることになります。

ここで問題になるのは次の疑問です：

「どのようにすれば最も高い確率で車を選べるのか？」

選んだドアをそのままにするのか、それとも切り替えるのか？どちらが有利なのでしょうか？

答え：切り替えた方が得

結論としては、「ドアを切り替える」方が車を獲得できる確率が高いです。

そのままの場合：車を獲得する確率は 1/3。
切り替えた場合：車を獲得する確率は 2/3。

理由を簡単に説明

初めの確率

最初に車を選ぶ確率は 1/3。
最初にヤギを選ぶ確率は 2/3。

切り替える場合

最初に車を選んだ場合（確率 1/3）：切り替えるとヤギになります。
最初にヤギを選んだ場合（確率 2/3）：モンティがもう一方のヤギのドアを開けるので、切り替えると車になります。

つまり、切り替え戦略では 2/3 の確率で車を獲得できます。

別の視点：すべてのケースを考える

問題をわかりやすくするために、すべてのケースを考えてみましょう。ドアに C（車） と G（ヤギ） が隠れているとします。

ケース1: ドア1が車 (C, G, G)
ケース2: ドア2が車 (G, C, G)
- あなたがドア1を選ぶ。
- モンティはドア3を開ける（ヤギ）。
- 切り替えると車、切り替えないとヤギ。
ケース3: ドア3が車 (G, G, C)
- あなたがドア1を選ぶ。
- モンティはドア2を開ける（ヤギ）。
- 切り替えると車、切り替えないとヤギ。

上の3つのケースを見てみると、

切り替えない場合：車を選ぶ確率は 1/3。
切り替える場合：車を選ぶ確率は 2/3。

実際に試してみよう

以下のPythonコードで、モンティ・ホール問題をシミュレーションできます。

シンプルなPythonコード

import random

def monty_hall_simulation(trials=10000):
    switch_wins = 0
    stay_wins = 0

    for _ in range(trials):
        doors = ['goat', 'goat', 'car']
        random.shuffle(doors)

        player_choice = random.randint(0, 2)

        for i in range(3):
            if i != player_choice and doors[i] == 'goat':
                monty_choice = i
                break

        switch_choice = [i for i in range(3) if i != player_choice and i != monty_choice][0]

        if doors[switch_choice] == 'car':
            switch_wins += 1
        if doors[player_choice] == 'car':
            stay_wins += 1

    print(f"切り替えた場合の勝率: {switch_wins / trials * 100:.2f}%")
    print(f"そのままの場合の勝率: {stay_wins / trials * 100:.2f}%")

monty_hall_simulation()

このコードを実行すると、切り替えた場合の勝率が約 66.7%、そのままの場合の勝率が約 33.3% になることがわかります。

最後に

モンティ・ホール問題は、確率の面白さを教えてくれる問題です。最初は直感と違う結果に驚くかもしれませんが、シミュレーションや数学的な分析を通じて納得できるようになります。

ぜひこの問題を楽しんでみてください！