あなたならどうする？確率に挑む「モンティ・ホール問題」
モンティ・ホール問題は、確率の直感を試す有名なパズルです。この問題はアメリカのゲームショー "Let's Make a Deal" に由来しています。本記事では、問題の内容と解き方を簡単に説明します。
ゲームのルールを理解しよう
あなたは 3つのドア の中から1つを選びます。そのうち 1つのドアの後ろ には 車 が隠されており、残り 2つのドア には ヤギ がいます。ルールは次の通りです：
- あなたは3つのドアから 1つ を選びます。
- モンティ・ホール（司会者）は、選ばなかった2つのドアの中から 必ずヤギがいるドア を1つ開けます。
- モンティはこう尋ねます：
- 「最初に選んだドアをそのままにしますか？それとも別のドアに切り替えますか？」
例えば：
- あなたが最初に ドア1 を選びます。
- モンティが ドア2（ヤギ）を開けます。
- あなたは ドア1 をそのままにするか、残りの ドア3 に切り替えるか選べます。
このとき「ドアを切り替えた方が得なのか？」という疑問が生まれます。
選択と結果
あなたは 3つのドア の中から 1つ を選びます。もし選んだドアの後ろに 車 があれば 車を獲得 できますが、 ヤギ ならばヤギを持ち帰ることになります。
ここで問題になるのは次の疑問です：
「どのようにすれば最も高い確率で車を選べるのか？」
選んだドアをそのままにするのか、それとも切り替えるのか？どちらが有利なのでしょうか？
答え：切り替えた方が得
結論としては、「ドアを切り替える」方が車を獲得できる確率が高いです。
- そのままの場合：車を獲得する確率は 1/3。
- 切り替えた場合：車を獲得する確率は 2/3。
理由を簡単に説明
初めの確率
- 最初に車を選ぶ確率は 1/3。
- 最初にヤギを選ぶ確率は 2/3。
切り替える場合
- 最初に車を選んだ場合（確率 1/3）：切り替えるとヤギになります。
- 最初にヤギを選んだ場合（確率 2/3）：モンティがもう一方のヤギのドアを開けるので、切り替えると車になります。
つまり、切り替え戦略では 2/3 の確率で車を獲得できます。
別の視点：すべてのケースを考える
問題をわかりやすくするために、すべてのケースを考えてみましょう。ドアに C（車） と G（ヤギ） が隠れているとします。
-
ケース1: ドア1が車 (C, G, G)
- あなたがドア1を選ぶ。
- モンティはドア2または3を開ける（どちらもヤギ）。
- 切り替えるとヤギ、切り替えないと車。
-
ケース2: ドア2が車 (G, C, G)
- あなたがドア1を選ぶ。
- モンティはドア3を開ける（ヤギ）。
- 切り替えると車、切り替えないとヤギ。
-
ケース3: ドア3が車 (G, G, C)
- あなたがドア1を選ぶ。
- モンティはドア2を開ける（ヤギ）。
- 切り替えると車、切り替えないとヤギ。
上の3つのケースを見てみると、
- 切り替えない場合：車を選ぶ確率は 1/3。
- 切り替える場合：車を選ぶ確率は 2/3。
実際に試してみよう
以下のPythonコードで、モンティ・ホール問題をシミュレーションできます。
シンプルなPythonコード
import random
def monty_hall_simulation(trials=10000):
switch_wins = 0
stay_wins = 0
for _ in range(trials):
doors = ['goat', 'goat', 'car']
random.shuffle(doors)
player_choice = random.randint(0, 2)
for i in range(3):
if i != player_choice and doors[i] == 'goat':
monty_choice = i
break
switch_choice = [i for i in range(3) if i != player_choice and i != monty_choice][0]
if doors[switch_choice] == 'car':
switch_wins += 1
if doors[player_choice] == 'car':
stay_wins += 1
print(f"切り替えた場合の勝率: {switch_wins / trials * 100:.2f}%")
print(f"そのままの場合の勝率: {stay_wins / trials * 100:.2f}%")
monty_hall_simulation()
このコードを実行すると、切り替えた場合の勝率が約 66.7%、そのままの場合の勝率が約 33.3% になることがわかります。
最後に
モンティ・ホール問題は、確率の面白さを教えてくれる問題です。最初は直感と違う結果に驚くかもしれませんが、シミュレーションや数学的な分析を通じて納得できるようになります。
ぜひこの問題を楽しんでみてください！