動機

絶対に必要な作業ではありません。
ほぼ同じ機能を持つテンプレートエンジンです。
どちらか１つにまとめたい気持ちです。

Release状況

枯れているライブラリであり、大きな変更があるとは思えません。
ですが、万が一セキュリティに関わるようなバグがあった場合に対応が遅いと困ります。
近年のRelease状況を確認してみます。

Twitter社製のライブラリとはいえ、メンテナンスが控えめになることがあるようです。

次の手順で、Hogan.jsからHandlebars.jsに乗り換えます。

npmでインストールして（ブラウザで動かす場合は）browserify等で変換して使う想定です。
scriptタグで読み込んで使っている場合は、適当に頑張ってください。

上記の手順を確認するため、両者のAPIの差を整理します。
Hogan.jsのexampleを参考にして比較してみましょう。

const data = {
  screenName: "dhg",
}

const template = Handlebars.compile("Follow @{{screenName}}.")
const output = template(data)

const data = {
  screenName: "dhg",
}

const template = Hogan.compile("Follow @{{screenName}}.")
const output = template.render(data)

export先がdefaultかrednder関数かの違いぐらいしかありません。