Abstract

コラッツ予想において最終的に到達する値は $1$ だが、私はその計算式を拡張し、任意の整数に到達する類似式の構成法を発見した。整数なので当然ゼロや負数も含む。これまでコラッツ予想の類似式は数多く研究されてきたが、この記事で一応の決着がつくだろう。

Introduction

類似式は大きく２つに分かれる。
任意の奇数$(...\ ,-5,-3,-1,\ 1,\ 3,\ 5,\ ...)$に到達する類似式と、
任意の偶数$(...\ ,-4,-2,\ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ ...)$に到達する類似式である。
実際のところこの２つの類似式に大きな違いはなく、互いに係数が異なる程度である。

任意の奇数に到達する類似式(odd ver)

整数 $p,q$ が $p+q=-1$ を満たすとき

\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad+p\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}+q\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation}

この類似式は $2p+1$ に到達する。
ただし初期値 $x$ は $x\geq2p+1$ とする。

なお $(p,q)=(0,-1)$ がオリジナルのコラッツ予想式である。

任意の偶数に到達する類似式(even ver)

整数 $p,q$ が $p+q=0$ を満たすとき

\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ +p\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}+q\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation}

この類似式は $2q+2$ に到達する。
ただし初期値 $x$ は $x\geq2q+2$ とする。

通常と違い、$x$ が偶数のとき $3$倍することに注意してほしい。

実例(Example)

5 に到達する類似式

\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad+2\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}-3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation}

x	計算過程

5	6 5
6	5
7	9 12 8 6 5
8	6 5
9	12 8 6 5
10	7 9 12 8 6 5
11	15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5
12	8 6 5
13	18 11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5
14	9 12 8 6 5
15	21 30 17 24 14 9 12 8 6 5
16	10 7 9 12 8 6 5
17	24 14 9 12 8 6 5
18	11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5
19	27 39 57 84 44 24 14 9 12 8 6 5
20	12 8 6 5
21	30 17 24 14 9 12 8 6 5
22	13 18 11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5
23	33 48 26 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5
24	14 9 12 8 6 5
25	36 20 12 8 6 5
:	:

-7 に到達する類似式

\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad-4\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}+3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation}

x	計算過程

-7	-6 -7
-6	-7
-5	-3 0 -4 -6 -7
-4	-6 -7
-3	0 -4 -6 -7
-2	-5 -3 0 -4 -6 -7
-1	3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7
0	-4 -6 -7
1	6 -1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7
2	-3 0 -4 -6 -7
3	9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7
4	-2 -5 -3 0 -4 -6 -7
5	12 2 -3 0 -4 -6 -7
6	-1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7
7	15 27 45 72 32 12 2 -3 0 -4 -6 -7
8	0 -4 -6 -7
9	18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7
10	1 6 -1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7
:	:

8 に到達する類似式

\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ -3\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}+3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation}

x	計算過程

8	9 8
9	8
10	12 15 11 9 8
11	9 8
12	15 11 9 8
13	10 12 15 11 9 8
14	18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8
15	11 9 8
16	21 14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8
17	12 15 11 9 8
18	24 33 20 27 17 12 15 11 9 8
19	13 10 12 15 11 9 8
20	27 17 12 15 11 9 8
21	14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8
22	30 42 60 87 47 27 17 12 15 11 9 8
23	15 11 9 8
24	33 20 27 17 12 15 11 9 8
25	16 21 14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8
26	36 51 29 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8
27	17 12 15 11 9 8
28	39 23 15 11 9 8
29	18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8
30	42 60 87 47 27 17 12 15 11 9 8
:	:

0 に到達する類似式

\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ +1\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}-1\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation}

x	計算過程

0	1 0
1	0
2	4 7 3 1 0
3	1 0
4	7 3 1 0
5	2 4 7 3 1 0
6	10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0
7	3 1 0
8	13 6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0
9	4 7 3 1 0
10	16 25 12 19 9 4 7 3 1 0
11	5 2 4 7 3 1 0
12	19 9 4 7 3 1 0
13	6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0
14	22 34 52 79 39 19 9 4 7 3 1 0
15	7 3 1 0
16	25 12 19 9 4 7 3 1 0
17	8 13 6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0
18	28 43 21 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0
19	9 4 7 3 1 0
20	31 15 7 3 1 0
:	:

Question

この記事の内容は自明だろうか？はたまたコロンブスの卵であろうか？

References

Generalization of the Collatz Conjecture, based on the homeward function