Abstract
コラッツ予想において最終的に到達する値は $1$ だが、私はその計算式を拡張し、任意の整数に到達する類似式の構成法を発見した。整数なので当然ゼロや負数も含む。これまでコラッツ予想の類似式は数多く研究されてきたが、この記事で一応の決着がつくだろう。
Introduction
類似式は大きく２つに分かれる。
任意の奇数$(...\ ,-5,-3,-1,\ 1,\ 3,\ 5,\ ...)$に到達する類似式と、
任意の偶数$(...\ ,-4,-2,\ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ ...)$に到達する類似式である。
実際のところ この２つの類似式に大きな違いはなく、互いに係数が異なる程度である。
任意の奇数に到達する類似式(odd ver)
整数 $p,q$ が $p+q=-1$ を満たすとき
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad+p\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}+q\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
この類似式は $2p+1$ に到達する。
ただし初期値 $x$ は $x\geq2p+1$ とする。
なお $(p,q)=(0,-1)$ がオリジナルのコラッツ予想式である。
任意の偶数に到達する類似式(even ver)
整数 $p,q$ が $p+q=0$ を満たすとき
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ +p\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}+q\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
この類似式は $2q+2$ に到達する。
ただし初期値 $x$ は $x\geq2q+2$ とする。
通常と違い、$x$ が偶数のとき $3$倍することに注意してほしい。
実例(Example)
5 に到達する類似式
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad+2\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}-3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
| x | 計算過程 |
|---|---|
| 5 | 6 5 |
| 6 | 5 |
| 7 | 9 12 8 6 5 |
| 8 | 6 5 |
| 9 | 12 8 6 5 |
| 10 | 7 9 12 8 6 5 |
| 11 | 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5 |
| 12 | 8 6 5 |
| 13 | 18 11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5 |
| 14 | 9 12 8 6 5 |
| 15 | 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5 |
| 16 | 10 7 9 12 8 6 5 |
| 17 | 24 14 9 12 8 6 5 |
| 18 | 11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5 |
| 19 | 27 39 57 84 44 24 14 9 12 8 6 5 |
| 20 | 12 8 6 5 |
| 21 | 30 17 24 14 9 12 8 6 5 |
| 22 | 13 18 11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5 |
| 23 | 33 48 26 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5 |
| 24 | 14 9 12 8 6 5 |
| 25 | 36 20 12 8 6 5 |
| : | : |
-7 に到達する類似式
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad-4\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}+3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
| x | 計算過程 |
|---|---|
| -7 | -6 -7 |
| -6 | -7 |
| -5 | -3 0 -4 -6 -7 |
| -4 | -6 -7 |
| -3 | 0 -4 -6 -7 |
| -2 | -5 -3 0 -4 -6 -7 |
| -1 | 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7 |
| 0 | -4 -6 -7 |
| 1 | 6 -1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7 |
| 2 | -3 0 -4 -6 -7 |
| 3 | 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7 |
| 4 | -2 -5 -3 0 -4 -6 -7 |
| 5 | 12 2 -3 0 -4 -6 -7 |
| 6 | -1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7 |
| 7 | 15 27 45 72 32 12 2 -3 0 -4 -6 -7 |
| 8 | 0 -4 -6 -7 |
| 9 | 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7 |
| 10 | 1 6 -1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7 |
| : | : |
8 に到達する類似式
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ -3\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}+3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
| x | 計算過程 |
|---|---|
| 8 | 9 8 |
| 9 | 8 |
| 10 | 12 15 11 9 8 |
| 11 | 9 8 |
| 12 | 15 11 9 8 |
| 13 | 10 12 15 11 9 8 |
| 14 | 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8 |
| 15 | 11 9 8 |
| 16 | 21 14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8 |
| 17 | 12 15 11 9 8 |
| 18 | 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8 |
| 19 | 13 10 12 15 11 9 8 |
| 20 | 27 17 12 15 11 9 8 |
| 21 | 14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8 |
| 22 | 30 42 60 87 47 27 17 12 15 11 9 8 |
| 23 | 15 11 9 8 |
| 24 | 33 20 27 17 12 15 11 9 8 |
| 25 | 16 21 14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8 |
| 26 | 36 51 29 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8 |
| 27 | 17 12 15 11 9 8 |
| 28 | 39 23 15 11 9 8 |
| 29 | 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8 |
| 30 | 42 60 87 47 27 17 12 15 11 9 8 |
| : | : |
0 に到達する類似式
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ +1\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}-1\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
| x | 計算過程 |
|---|---|
| 0 | 1 0 |
| 1 | 0 |
| 2 | 4 7 3 1 0 |
| 3 | 1 0 |
| 4 | 7 3 1 0 |
| 5 | 2 4 7 3 1 0 |
| 6 | 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0 |
| 7 | 3 1 0 |
| 8 | 13 6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0 |
| 9 | 4 7 3 1 0 |
| 10 | 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0 |
| 11 | 5 2 4 7 3 1 0 |
| 12 | 19 9 4 7 3 1 0 |
| 13 | 6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0 |
| 14 | 22 34 52 79 39 19 9 4 7 3 1 0 |
| 15 | 7 3 1 0 |
| 16 | 25 12 19 9 4 7 3 1 0 |
| 17 | 8 13 6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0 |
| 18 | 28 43 21 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0 |
| 19 | 9 4 7 3 1 0 |
| 20 | 31 15 7 3 1 0 |
| : | : |
Question
この記事の内容は自明だろうか？ はたまたコロンブスの卵であろうか？
References
Generalization of the Collatz Conjecture, based on the homeward function