以下の手順を踏む

ルートディレクトリ直下でそのまま
$ npm run build
を実行するだけでは、functions/src/index の変更は反映されない。
TypeScript の場合は、
$ cd functions // functions 下で npm コマンドを回す必要がある
$ npm install // package.json の変更を反映させる
$ npm run build
$ firebase deploy --only functions
を実行することで初めて変更が反映される。
Firebase 上の Functions にデプロイが反映されたことを確認する