回避方法

これを回避する方法は２パターン考えられます。

v-htmlを使う

どうやら仮想DOMから実際にHTMLを出力される際にユニコードを文字列としてエンコードして出しているように見えます。
v-htmlディレクティブを利用することでこれを回避できます。

<a href="~~~" v-html="icon"></a>

...
<script>
  ...
  const icon = `<i class="material-icon" data-icon="&#57534;"</i>お問い合わせ`
  return { icon }
  ...
</script>

ユニコードをそのまま貼り付ける

出力されるHTMLに注目してみましょう。

SSR

SPA

正常に表示できているときはHTMLに通称豆腐として展開されています。
なので、vueテンプレート側でもこの豆腐で登録することでうまく表示できるのでは？ということで試してみたところ、うまく表示されました。

使っているアイコンをオブジェクトで管理することで「この豆腐なんだっけ？」も防げますね。とはいえスマートな解決とは言えないのでもっと良い解決方法が知りたいです。