2018/12/13 解決済みなのを確認しました。
日本リージョンの 0120電話からも発信者を通知して電話をかけられます。
2018/02/23も未解決なのを確認済み
2017/11/29 AWSの中の人に聞いたところ、日本で番号が通知されない問題は、年内に解決されないんじゃないかとのことでした。
Amazon Connect 本当に日本語のドキュメントが少なくて大変ですね。
参考記事
https://qiita.com/miTsuKow/items/2ec4feec6dc6bc7d6c8b
別サイトに電話をかけるボタンを埋め込んで、そこから電話をかけるためには、
CCPのURLを jsファイルにに書く必要があるのですが、"CCP"ってなに? となってしまう人もいるでしょう。
CCP とは、
この電話マークを押すと出て来るポップアップのことです。
それさえわかれば、割りとすんなり実装できるのではないでしょうか？
さて、一番困った点は、非通知でしか電話が掛けられないことです。
AWSのサポートから電話をかけてもらう時は、番号通知済みで電話がかかってくるのに、なんでConnect からかけると電話がかかってくるのかどうかわからなかったのです。
これをサポートに問い合わせると、オレゴンとアメリカ国内では、番号を通知して電話をかけられるそうです。
しかし、オレゴン 日本、 シドニー 日本、の間では出来ないそうです。
設定には、相手の電話に表示させる番号とOutbound caller ID nameを（これで本当に相手に
自分の名前が通知されるかわからないけど）が選べるようになっていますが、これが特定リージョンとキャリアによっても無効か有効かが変化するそうです。
そもそも、ナンバーディスプレイというのは、掛ける方の電話会社とかかってくる方の電話会社が相互に連携をしていないと、成立しないものです。したがって、Amazon のサポートが使っている電話会社と、Conecct で使っている電話会社が違うので、番号通知がうまくいかないということだそうです。
非通知で電話をかけるコールセンターは怪しまれるでしょうから、問題だと思ってます。
誰かアマゾンの太い御客さんのひとは、東京リージョンで使えるようにしてほしいと要望していただきたいです。東京リージョンから日本にから発信するなら、番号を通知して発信できるでしょう。
（追記）
この問題をアマゾンのサポートに聞くと、
Oct 28, 2017 01:59 PM +0900 に問い合わせして、回答が来たのが、
初回の回答はすぐに来ました。最終的に意味ある回答が来たのが。
Nov 13, 2017 01:57 PM +0900 に回答が来ました。
現在、シアトル本社には、AmazonConnectの専門部隊がいるのかもしれないと、AWS日本の方がおっしゃっていました。
暫くの間は、英語で問い合わせると良いと思います。