よく見かけるこのフォーム　Amazon Connect であれば、直ぐにできるのだろう！
とおもうのが普通ですが、これは出来ません。

現在、どこかに発信させるというAPIが存在しないために出来ないのです。
https://qiita.com/koyakeiaaaaa/items/90f523721a42f50d05be
ここにも書いたとおり、インスタンス全体を操作できるAPIがなく、そのうち提供されるはずという、中の人噂を信じる以外にない状況です。

https://github.com/aws/amazon-connect-streams/blob/master/Documentation.md
このjs ライブラリで　電話オペレーターとしてログインしていれば、自動的に電話をかけることができるのですが、御客さんに電話オペレータとしてのログイン情報を渡せないので、今のところは無理です。
いつしか、電話オペレータ（エージェント）ではない、カスタマーとしてのログイン情報いらずのAPIができればいいと思っています（もちろん、いたずら電話を掛ける人間に対してIPなどで、止めるように自動でなっている前提で。）

アップデートがあり次第ここに書きます。