テンソル(Tensor)の理解(2) : Shape

#1.はじめに

Tensorの理解に必要な情報を、自分用メモとして整理します。
同時に、PythonにおけるTensorの表記法もご紹介します。
*英語の表現が直感的で理解しやすいため、訳さずにそのまま記入致します。

前回の記事に続き、今回はTensorのShapeについてご紹介します。
テンソル(Tensor)の理解　(1) : Dimension

#2.テンソルとは？

1. Tensor is a just a container for data.
2. The data are almost numerical data
3. Therefore, Tensor is a container for number.

テンソルは、数字を入れるコンテナです。シンプルですね。

#3.テンソルのキーワード

Tensor, Dimension, Axis, Ranksの意味です。

1. Tensor is a container of numbers.
2. Tensor is a generalization of matrices to an arbitrary number of dimensions.
3. In tensor, dimension is often called axis.
4. Number of dimension (=Number of axis) is called ranks.

テンソルは、マトリックスの一般化された表現。

名称	テンソル	表記
Scalar	0 Dimensional Tensor	Not Available
Vector	1 Dimensional Tensor	(k)
Matrix	2 Dimensional Tensor	(j,k)
..	3 Dimensional tensor	(i,j,l)

#4.テンソルのShape

テンソルのShapeとは、各Dimension(=axis)がいくつの要素(Element)で構成さらたかを表す情報です。
経験上、2Dテンソル（Matrix）以上は、Shapeの理解がしやすいですが、0Dテンソル（Scalar), 1Dテンソル(Vector)のShapeは、例を見てから理解する必要があります。

Pythonのshape命令で、TensorのShapeが確認できます。

##4.1 Scalar : 0D Tensor

Scalar has empty shape.

例えば、数字12の例を挙げます。
数字12は、数字が一つあるだけなので、Scalarです。
Scalarは0D Tensorです。すなわちTensorのDimensionがゼロです。Dimensionがありません。
ないDimensionのElement数の情報がShapeですので、ScalarのShapeは、**( )**にしか表記できません。
これを英語では、Scalar has empty shape.と言います。
ちょっと理不尽な説明ですが、Vectorまで我慢してください。

下記のコードでScalarのShapeを出力してみます。

##4.2 Vector : 1D Tensor

1D tensor has a shape with a single element, such as (4, ).

次に、Vectorの例を挙げます。

\begin{bmatrix}
12 & 3 & 6 & 14 
\end{bmatrix}

Vectorは1Dテンソルです。Dimensionが一つしかないので、一つの数字でShapeを表します。
そして、このVectorのElements数は4です。
従って、このVectorのShapeは、**(4, )**と表記します。これはピンとこないかもしれませんが、覚えるしかありません。

下記のコードでVectorのShapeを出力してみます。

　
##4.3 Matrix : 2D Tensor

2D tensor has a shape such as (3,4). it is familiar with matrix representation.

次に、Matrixの例を挙げます。

\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5 & 7 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
3 & 6 & 9 & 12 
\end{bmatrix}

このMatrixのShapeは**(3,4)**です。これまでの数学での行列の表記と同じです。
実際には、Matrixは2D Tensorなので、二つの数字で表記。それぞれの数字には各DimensionのElements数を入れることになります。

下記のコードで、MatrixのShapeを出力してみます。

##4.4 .. :3D Tensor

3D tensor has a shape (*3*,3,4).

次に、3Dテンソルの例を挙げます。
3D Tensorになると、数式として表現が難しくなりますので、コード表記とさせてください。
(3,4)の行列が三つ並んでいることを頭に描いてみてください。
この場合、このテンソルのShapeは、(3, 3, 4)となります。

[[[1, 3, 5, 7],[2, 4, 6, 8],[3 ,6, 9,12]], [[1, 3, 5, 7],[2, 4, 6, 8],[3 ,6, 9,12]], [[1, 3, 5, 7],[2, 4, 6, 8],[3 ,6, 9,12]]]

#5. まとめ

TensorのShapeの意味、Pythonでの表現について整理しました。
次回は、Tensorの実例についてご紹介します。

名称	テンソル	表現	Shape
Scalar	0D Tensor	Not Available	()
Vector	1D Tensor	(k)	(k,)
Matrix	2D Tensor	(j,k)	(j,k)
..	3D　tensor	(i,j,l)	(i,j,l)

#6. 参考資料

1. テンソル(Tensor)の理解　(1) : Dimension