数検１級 (6) 行列式

問題

次の行列式を計算し、因数分解した形で答えなさい。

\begin{vmatrix}
a&a&b&b \\
a&b&a&b \\
a&b&b&a\\
b&a&b&a
\end{vmatrix}

※ (5) の類題

解答

\begin{align}
\begin{vmatrix}
a&a&b&b \\
a&b&a&b \\
a&b&b&a\\
b&a&b&a
\end{vmatrix} 
&=
\begin{vmatrix}
0&a-b&0&b \\
a-b&b-a&a-b&b \\
a-b&0&b-a&a\\
b-a&a-b&b-a&a
\end{vmatrix}
&& \text{（列1から列2を、列2から列3を、列3から列4を引く）} \\

&=
(a-b)^3
\begin{vmatrix}
0&1&0&b \\
1&-1&1&b \\
1&0&-1&a\\
-1&1&-1&a
\end{vmatrix}
&& \text{（列1, 2, 3 からそれぞれ $(a-b)$ をくくり出す）} \\

&=
-(a-b)^3
\begin{vmatrix}
0&1&0&b \\
1&-1&1&b \\
2&-1&0&a+b\\
0&0&0&a+b
\end{vmatrix}
&& \text{（列3, 4に列2を足す）} \\

&=
-(a-b)^3
\begin{vmatrix}
0&1&b \\
2&-1&a+b\\
0&0&a+b
\end{vmatrix}
&& \text{（列3でラプラス展開）} \\

&=
-(a-b)^3 \cdot (-2(a+b))
&& \text{（サラスの方法）} \\

&= 2(a-b)^3(a+b).
\end{align}