2022年1月に統計検定準1級に合格しました。
合格するまでに実施したことについて、こちらのブログにまとめています。
興味があれば見てもらえると助かります。
公式問題集の解説ならびにウェブ上の解説を読んでも理解が難しかった問題について、自分なりに解説します。
統計についてあまり詳しくないため、解説に至らない点があればアドバイスもらえると助かります。
投稿内容は個人の見解であり、所属する組織の公式見解ではありません。
今回は、2019年の統計検定準1級の問9(3)を解説します。
2019年の問9(1)と問9(2)
こちらの記事にて、わかりやすく解説されています。
私が追加で説明する必要はないと思っています。
2019年の問9(3)
問9(3)の問題
問9(1)と問9(2)同様、こちらの記事で確認ください。
問9(3)の解法
\begin{align}
B_t^{(1)} - B_{t-1}^{(1)} = \Delta B^{(1)} \\\
B_t^{(2)} - B_{t-1}^{(2)} = \Delta B^{(2)} \\\
\end{align}
とすると、
\begin{align}
x_t - x_{t-1}
&= x_0 + \sigma_1\sqrt{\rho}B_t^{(1)} + \sigma_1\sqrt{1 - \rho}B_t^{(2)} - (x_0 + \sigma_1\sqrt{\rho}B_{t-1}^{(1)} + \sigma_1\sqrt{1 - \rho}B_{t-1}^{(2)})\\\
&= \sigma_1\sqrt{\rho}\Delta B^{(1)} + \sigma_1\sqrt{1 - \rho}\Delta B^{(2)} \\\
\end{align}
よって、
\begin{align}
(x_t - x_{t-1})^2
&= (\sigma_1\sqrt{\rho}\Delta B^{(1)})^2 + (\sigma_1\sqrt{1 - \rho}\Delta B^{(2)})^2 + 2\Delta B^{(1)}\Delta B^{(2)}\sigma_1\sigma_1\sqrt{\rho}\sqrt{1 - \rho}\\\
&= (\sigma_1\sqrt{\rho}\Delta B^{(1)})^2 + (\sigma_1\sqrt{1 - \rho}\Delta B^{(2)})^2 \\\
\end{align} \\\
∵ B_t^{(1)}とB_t^{(2)}は独立なので 、\Delta B^{(1)}\Delta B^{(2)}=0 \\\
\begin{align}
\Sigma(x_t - x_{t-1})^2
&= \Sigma(\sigma_1\sqrt{\rho}\Delta B^{(1)})^2 + \Sigma(\sigma_1\sqrt{1 - \rho}\Delta B^{(2)})^2 \\\
&= n\sigma_1^2
\end{align} \\\
\\\
∵ B_t^{(1)}とB_t^{(2)}は独立かつ標準ブラウン運動なので 、\Sigma (\Delta B^{(x)})^2 =1
yについても同様に、
\begin{align}
\Sigma(y_t - y_{t-1})^2
&= \Sigma(\sigma_2\sqrt{\rho}\Delta B^{(1)})^2 + \Sigma(\sigma_2\sqrt{1 - \rho}\Delta B^{(3)})^2 \\\
&= n\sigma_2^2
\end{align} \\\
xとyの共分散は、
\begin{align}
(x_t - x_{t-1})(y_t - y_{t-1})
&= \sigma_1\sigma_2\rho(\Delta B^{(1)})^2
\end{align} \\\
\\\
∵ B_t^{(1)},B_t^{(2)},B_t^{(3)}は独立なので 、\\\
\Delta B^{(1)}\Delta B^{(2)}=0,
\Delta B^{(1)}\Delta B^{(3)}=0,
\Delta B^{(2)}\Delta B^{(3)}=0
\begin{align}
\Sigma(x_t - x_{t-1})(y_t - y_{t-1})
&= \Sigma \sigma_1\sigma_2\rho(\Delta B^{(1)})^2 \\\
&=n\sigma_1\sigma_2\rho
\end{align}
あとは、公式問題集の解説通り、
n=1000とおき、差分を1から1/10に変更し、σとρを計算する。