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「System has not been booted with systemd as init system (PID 1). Can't operate. Failed to connect to bus: Host is down」エラーへの対処法。
他のQiita記事でも言及ありますが、別ベクトルの解決法があったので紹介します。

対処法

1. WSLのバージョンを確認

以下のコマンドを実行します。

> wsl --version

このコマンドを実行して、以下のようにバージョンが表示されれば、２をスキップして３を読んでください。

WSL バージョン: 1.2.5.0
カーネル バージョン: 5.15.90.1
WSLg バージョン: 1.0.51
...

もし、 --version が無効なコマンドとして扱われ、wslコマンドのヘルプが表示された場合、２に移動してください。

2. WSLをストアからインストールする

インストールが完了後、PowerShellを開きます。
これで、wsl --versionが有効になるはずです。

3. Linuxディストリビューションの中にコンフィグファイルを作る

Ubuntu、Kali等任意のLinuxディストリビューションを起動し、以下のステップを実行します。

$ sudo vi /etc/wsl.conf
以下の内容を追記して保存

[boot]
systemd=true

4. wslを再起動

PowerShellで以下のコマンドを実行します。

> wsl --shutdown
> wsl

5. 問題解決！

のはず。