概要
タイトルの通りです。
ローカルで開発している時は何も問題ないのですが、
Vercelにデプロイすると、api/ へのPOSTリクエストが405(Not allowed) になります。
解決策
今の所私は、Next.jsのダウングレード（バージョンを落とす）で対応しました。
package.json にて、next.js を
next: 13.4.19,
にダウングレードしてください。
この後に npm install などで package-lock を更新するのを忘れずに。
たぶんですが
ここなどをみるに、まだオープンイシューっぽいので、
あまり時間を使いたくない人はダウングレードして対応しましょう。