結論

gh auth token によって GitHub CLI 用の (gh auth login で生成された) トークンが取れる。
それを GH_TOKEN にセットしておけばOK

TOKEN=$(gh auth token)
export GH_TOKEN=$TOKEN

理由

GH_TOKEN, GITHUB_TOKEN (in order of precedence): an authentication token that will be used when a command targets either or a subdomain of . Setting this avoids being prompted to authenticate and takes precedence over previously stored credentials.
https://cli.github.com/manual/gh_help_environment

つまり GitHub CLI では、

gh auth login で生成されたトークンよりも GITHUB_TOKEN を優先するが、
GITHUB_TOKEN よりも GH_TOKEN をさらに優先する

ということ。

背景

関わるリポジトリが何らかの理由で GITHUB_TOKEN という名称の変数にPATを設定させてくる場合があると思う。（ないかも）
その場合に困ることとして、 GitHub CLI がそのリポジトリ内では使えなくなることが挙げられる。
どうにかして回避したいと思い調べたので一旦の解決策を備忘として書いた。