0. 確率場
0-1. 確率場
同時分布が確率的に与えられる有限個の実数からなる集合を確率場と定義し、
$Y(s): s∈D_S⊂R^d$
と表記する。
観測可能なのは、これに測定誤差$ε$を加えた実測値$Z(s)$のみである。
$Z(s) = Y(s) + ε(s)$
$Z(s_i); s∈D_s$から測定誤差と真値の空間構造をモデル化する事で、
非観測地点における真の値$Y(s_0)$を推定する。
実用的には、例えば、空間補完などに用いられる。
ただし、時間構造を含まないtemporary frozenなデータ構造を対象にしている事に留意。
階層的地統計モデルでは、2つのモデルを考える。
\begin{eqnarray}
&data\ model &&\\
& && Z(s) = Y(s)+ε(s),\hspace{10pt} idd.\ & ε\ \thicksim \ N(0, σ^2_ε) \\
\\
&process\ model &&\\
& && Y(s) = X(s)^t β + σ(s),\ & σ\ \thicksim \ N(0, C_Y(h)), \\
&&& C_Y(h)=cov\left(Y(s+h), Y(s)\right)
\end{eqnarray}
すなわち、process modelにおける(多変量)正規分布誤差が、測定地点の相互位置に依存して変動する真の値$Y$の共分散$C_Y(h)$で与えられると考える。$X$は説明変数行列。
0-2. 定常性
解析的には、 定常性を仮定する。
定常性とは、与えられた$k$個の点の組が互いの相対的位置関係(空間データでは、距離, 方位, 高度, ...etc)を保ったまま他の部分に移動しても特徴が不変であるという事を意味し、場の1次モーメント, 2次モーメントにより定義される。
1. 固有定常性 intrinsic stationary
\begin{eqnarray}
^{\forall}s,^{\forall}h ∈ D_s,&&\hspace{130pt} \\
&{\bf E}\left[Y(s+h)-Y(s)\right]=0,\hspace{30pt} &\cdots(1.1)\\
&var\left(Y(s+h)-Y(s)\right)=2γ_Y(h)\hspace{10pt} &\cdots(1.2)
\end{eqnarray}
$2γ_y(h)$をバリオグラム variogram、$γ_y(h)$をセミバリオグラムと呼ぶ。
(1.3)式を満たさないバリオグラムは不適。
これをconditional-nonpositive-definiteness conditionと呼ぶ。
^{\forall} k ∈ {\bf N}, ^{\forall}\{s_i: i=1,...k\},
^{\forall}α_i\ such\ that\sum_{i=1}^kα_i=0, \hspace{130pt} \\
\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} α_i α_j 2γ_Y \left(s_i - s_j\right)≤0
\hspace{10pt} \cdots(1.3)
数学的意味
$\left(\sum_{i=1}^kα_iY(s_i)\right)^2$の期待値を考える。
まず、
$var(A)={\bf E}[A^2]+\left({\bf E}[A]\right)^2$を用いて、
{\bf E}\Biggl[\left(\sum_{i=1}^k α_i Y(s_i)\right)^2\Biggr] \hspace{150pt} \\
\begin{eqnarray}
&=& var \left(\sum_{i=1}^k α_i Y(s_i) \right)
+ \biggl({\bf E} \left[\sum_{i=1}^k α_i Y(s_i) \right]\biggr)^2 \\
&=& var \left(\sum_{i=1}^k α_i Y(s_i) \right)
+ \biggl(\sum_{i=1}^k α_i\ {\bf E}\left[Y(s_i) \right]\biggr)^2 \\
&=& var \left(\sum_{i=1}^k α_i Y(s_i) \right) \hspace{80pt}
\cdots(1.4) \\
&& \hspace{100pt} ∵\ \sum_{i=1}^k α_i=0
\end{eqnarray}
また、
\begin{eqnarray}
\left(\sum_{i=1}^kα_iY(s_i)\right)^2\\
&=&\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}α_i α_j Y(s_i) Y(s_j) \hspace{110pt} \\
&=&\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}\frac{α_i α_j}{-2}\biggl(\left(Y(s_i)-Y(s_j)\right)^2-Y(s_i)^2-Y(s_j)^2\biggr) \\
&=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k α_i α_j \left(Y(s_i)-Y(s_j)\right)^2 \\
&& +\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k α_i Y(s_i)^2 \sum_{j=1}^kα_j
+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k α_i \sum_{j=1}^k α_j Y(s_j)^2 \\
&=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k α_i α_j \left(Y(s_i)-Y(s_j)\right)^2 \\
\end{eqnarray}
従って、(1.1)(1.2)を用い、
\begin{eqnarray}
{\bf E}\Biggl[\left(\sum_{i=1}^k α_i Y(s_i)\right)^2\Biggr] \\
&=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k α_i α_j \
{\bf E} \biggl[\left(Y(s_i)-Y(s_j)\right)^2 \biggr] \hspace{80pt}\\
&=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k α_i α_j \
\Biggl(var\left(Y(s_i)-Y(s_j)\right)
+\biggl[{\bf E}\left(Y(s_i)-Y(s_j)\right)\biggr]^2 \Biggl) \\
&=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k α_i α_j \
var\left(Y(s_i)-Y(s_j)\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k α_i α_j \ 2γ_Y(s_i-s_j)
\hspace{40pt}
\cdots(1.5)
\end{eqnarray}
(1.4), (1.5)より、
var \left(\sum_{i=1}^k α_i Y(s_i) \right)
=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k α_i α_j \ 2γ_Y(s_i-s_j)
すなわち、右辺の$var(\ )$が非負($≥0$)である事が、(1.3)式と同値。
2. 2次定常性 2nd order stationary
\begin{eqnarray}
^{\forall}s,^{\forall}h ∈ D_s,&&\hspace{130pt} \\
&{\bf E}\left[Y(s)\right]=μ,\hspace{30pt} &
\cdots(2.1)\\
&cov\left(Y(s+h), Y(s)\right)=C_Y(h)\hspace{10pt} &
\cdots(2.2)
\end{eqnarray}
この時、$C_Y(h)$を共分散関数、もしくは、コバリオグラムcovariogramと呼ぶ。
"定常的"コバリオグラムは、下記を満たす(満たさない場合、不適)。
\begin{eqnarray}
^{\forall} α_i∈R, ^{\forall} S_i∈D_s, &\\
\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k α_i α_j\ & C_Y(s_i-s_j)\ ≥ 0 \hspace{10pt} \cdots(2.3)\\
\end{eqnarray}
※ ここで、$\sum α_i=0$ の縛りが必要無いことに注意。
つまり、2次定常性の方が、固有定常性よりも弱い仮定。
(2次定常性を弱定常性weak stationaryとも呼ぶ)
2次定常性ならば、固有定常性で、かつ、下記が成立する。
γ_Y(h)=C_Y(0)\ -\ C_Y(h) \hspace{30pt} \cdots(2.4)
証明は下記。
数学的意味
式(2.3)これはほとんど自明ですが、
\begin{eqnarray}
var \left( \sum_{i=1}^k α_i Y_s \right) && \\
&=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k α_i α_j\ cov(Y(s_i), Y(s_j)) \\
&=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k α_i α_j\ C_Y(s_i -s_j) \hspace{5pt}≥0\\
\end{eqnarray}
式(2.4)の証明は、下記。
式(1.2)および、$var(aX+bY)=a^2\ var(X)+b^2\ var(Y)-2ab\ cov(X,Y)$を用い、
\begin{eqnarray}
γ_Y(h)&& \hspace{150pt} \\
&=&\frac{1}{2} var \left( Y(s+h)-Y(s) \right) \hspace{150pt}\\
&=&\frac{1}{2} \left(var(Y(s+h)+var(Y(s)-2cov(Y(s+h), Y(s))\right) \\
&=&\frac{1}{2} \left(C_Y(0) + C_Y(0) -2C_Y(h) \right) \\
&=& C_Y(0)-C_Y(h)
\end{eqnarray}