簡略してデータ点$(x_i,y_i)$に対して、
・相関係数は次のように表せる。
\begin{align}
r_{xy}=\frac{S_{xy}}{S_xS_y}&=\frac{\frac{1}{n}\sum{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum{(x_i-\bar{x})^2}} \sqrt{\frac{1}{n}\sum{(y_i-\bar{y})^2}}}\\
&=\frac{\sum{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i-\bar{x})^2}} \sqrt{\sum{(y_i-\bar{y})^2}}}\\
\end{align}
ここで大事なのがこの式を眺める視点です。
$(x_i,y_i)$はそれぞれのデータ点なので、$(x_i-\bar{x},y_i-\bar{y})$は平均に対して平行移動した点と考えます。
(x_1-\bar{x},y_1-\bar{y}),
(x_2-\bar{x},y_2-\bar{y}),
\dots,(x_n-\bar{x},y_n-\bar{y})
この内積を取ると上式と一致します。
\cos{\theta}=\frac{\sum{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i-\bar{x})^2}} \sqrt{\sum{(y_i-\bar{y})^2}}}\\