厳密な説明は元論文を参照。
参考「[2305.17743] A chiral aperiodic monotile」
用語:
- モノタイル monotile
- 1 種類の形でタイル張りが可能なタイル
- 移動、回転、反転は可
- aperiodic monotile
- 非周期モノタイル
- アインシュタインタイル
- キラル chiral
- (移動、回転をしても) 形が鏡像と一致しない
- ホモキラル homochiral
- 単体はキラル
- 複数存在するとき、鏡像が存在しない (鏡像を含む 2 種類のうち 1 種類のみ存在する)
0. まとめ
モノタイル:
- Tile(1, 1)
- 弱キラル weakly chiral
- 単体の Tile(1, 1) はキラル
- 鏡像なしのタイル張りが可能
- 鏡像ありのタイル張りも可能
- ホモキラルなタイル張りが可能
- ホモキラルでないタイル張りも可能
- 非周期的なタイル張りが可能
- 周期的なタイル張りも可能
- 広義 Spectre
- スペクタ Spectre
- 強キラル strictly chiral
- 単体の Spectre はキラル
- 鏡像なしのタイル張りのみ可能
- ホモキラルなタイル張りのみ可能
- 非周期的なタイル張りのみ可能
- 狭義 Spectre
1. Tile(1, 1) は広義 Spectre
Tile(1, 1) を鏡像なしでタイル張りした場合はホモキラルで非周期的であり、Spectre のタイル張りと対応するため、区別しなくても問題ありません。
元論文より引用:
In this paper we prove that Tile(1, 1) is a weakly chiral aperiodic monotile: if by fiat we restrict ourselves to tilings using only translations and rotations, then Tile(1, 1) admits only nonperiodic tilings.
More importantly, by modifying the edges of this polygon (Figure 1.1, centre and right), we define a family of strictly chiral aperiodic monotiles that we call “Spectres”, which admit only homochiral tilings, even when reflections are permitted (Theorem 2.2).
訳:
本論文では Tile(1, 1) が弱キラルな非周期モノタイルであることを証明する: もし、強制的に移動と回転のみを用いたタイル張りに限定する (訳注: すなわち反転を許可しない) と、Tile(1, 1) は非周期的なタイル張りのみ可能になる。
さらに重要なこととして、この多角形の辺を変更することで (図 1.1, 中央と右)、「スペクタ」と呼ぶ強キラルな非周期モノタイルの族を定義し、これらは反転を許可した場合でもホモキラルなタイル張りのみ可能になる (定理 2.2) 。
元論文より引用:
Our main results concern Spectres, the set of shapes whose tilings correspond exactly to the homochiral tilings admitted by Tile(1, 1), thereby boosting us from weakly chiral to strictly chiral aperiodicity.
訳:
主な成果は、Tile(1, 1) が許容するホモキラルなタイル張りと完全に対応するタイル張りが可能な形の集合である Spectres に関するもので、これにより、弱キラルから強キラルな非周期的に強化する。
元論文より引用:
From this point on, we will not take the trouble to distinguish between Tile(1, 1) restricted by fiat to homochiral tilings, and the Spectres defined above, which only admit homochiral tilings—we know that we are working with the same universe of tilings in either case.
For simplicity we will usually speak of “the” Spectre in reference to any of these shapes, and we will use the polygon Tile(1, 1) in figures showing patches of Spectres.
However, if we refer to the Spectre in the context of strictly chiral aperiodicity, it should be understood that we are excluding Tile(1, 1).
訳:
ここからは、強制的にホモキラルなタイル張りに限定した Tile(1, 1) と、上で定義した、ホモキラルなタイル張りのみ可能な Spectres をわざわざ区別しない。
どちらの場合もタイル張りの同じ議論をしていることが分かる。
簡単のため、どちらの形も「スペクタ」と呼ぶことにし、スペクタの区画を表す図では多角形 Tile(1, 1) を用いる。
ただし、強キラルな非周期という文脈でスペクタと呼ぶ場合は Tile(1, 1) を除外していることを理解すべきである。
2. Tile(1, 1) は狭義 Spectre でない
Spectre と異なり、Tile(1, 1) は鏡像ありのホモキラルでないタイル張りが可能であり、その場合は周期的な配置もあり得ます。
元論文より引用:
Because Tile(1, 1) is equilateral, copies of the tile may fit together in more ways than generic members of the continuum, and in fact it admits a simple periodic tiling using equal numbers of left- and right-handed tiles [SMKGS24, Figure 6.2].
訳:
Tile(1, 1) は等辺多角形であるため、このタイルの複製は一般的な連続体の要素よりも多くの方法で組み合わさる可能性があり、実際、左向きと右向きのタイルを等しい数用いた単純で周期的なタイル張りが可能である [SMKGS24, 図 6.2]。
