1. 使い分け

exports は const だと思った方が良い (常に exports.hoge = fuga; の形で使う)
module.exports は自由
モジュール内で併用しない

これらの条件を守っていれば、どちらを使っても同じ。
class をまるっと入れたいときは module.exports になる。

2. 仕組み

イメージ

let a = {}; /* module.exports */
let b = a;  /* exports */
// 
b.foo = 'foo';
// 
a = {bar: 'bar'}
// 
return a;

b に新しいオブジェクトを入れても反映されない
a に新しいオブジェクトを入れると b が無視される
どちらも新しいオブジェクトを入れなければ両方反映 (でも、統一したほうが見やすい)

参考「exports と module.exports の違い - Qiita」
参考「Node.js : exports と module.exports の違い（解説編） - ぼちぼち日記」

3. 循環参照の対策

以下のいずれか。

module.exports の参照を破壊しないで使う
exports を使う ( = 参照を破壊しない)
module.exports の参照を require() 前に書き換える
ソースコードの先頭ではなく使うときに require()
「依存性の注入 (Dependency injection)」

参考「exports と module.exportsの使い分け - Qiita」
参考「webpackなどでCommonJSモジュール循環参照を回避する方法 - Qiita」
参考「node.jsにおける循環参照に対処するための3つの方法 - Qiita」

4. おまけ

exports だけでなく module も似た感じなので、オブジェクトをまるっと入れるとまずい。
(module = {exports: {hoge: fuga}}; は意味がない)

require() 疑似コード

function require(/* ... */) {
  const module = { exports: {} };
  ((module, exports) => {
    // ... モジュールのコード
  })(module, module.exports);
  return module.exports;
}

参考「exports shortcut - Modules | Node.js v9.6.1 Documentation」