ウクレレを弾いていると「このコードからこのコードに進むと自然だな」と思うことがあります。コード譜を見ていても、そういう「自然なパターン」を感じることがあります。でも、その「自然」は果たして偶然の産物なのでしょうか。今回はこの感覚を数学の図形で表現して、コード進行の「自然」を目で捉えたいと思います。
✅ この記事を最後まで読むと、下の動画のように音楽が「見える」ようになります！
自分の好きな音楽が数学に変換される、というのはとても刺激的な体験です。
この記事はリサージュ曲線だけでなく、日本語での解説記事がとても少ない和音の幾何学「Tonnetz」についても触れています。特にTonnetzは超面白いので、ぜひ最後まで楽しんでいってください！
目次
２つの音をリサージュ曲線にしてみよう
まず、２つの音の関係を図形で表すことを考えます。ここで使えるのがリサージュ曲線です。リサージュ曲線とは、横方向の振動と縦方向の振動を組み合わせてできる図形のことです。
下の動画はあとで見る周波数比が３:２のリサージュ曲線です。動画だと、リサージュ曲線の描かれ方が直感的にわかると思います。
たとえば、横方向に
$$
x(t)=\cos t
$$
という振動を与えます。
そして縦方向に
$$
y(t)=\sin(rt)
$$
という振動を与えたとします。
ここで $r$ は、2つの音の周波数比になっています。
たとえば、$r=3/2$ なら、2つの音の周波数比は
$$
3:2
$$
です。
これは、片方の音が2回振動するあいだに、もう片方の音が3回振動する、という意味になります。
つまり、$r$ を変えることは
2つの音の高さの比を変えることに対応しているわけです。
そして、2つの音の高さの比を変えると描かれるリサージュ曲線の形も変わります。
平均律の完全5度
まず、平均律における完全5度をリサージュ曲線で見てみます。
平均律では、1オクターブを12等分します。
つまり、半音1個ぶんの周波数比は
$$
2^{1/12}
$$
です。
ピアノは１オクターブ上がると周波数が２倍になります。平均律では1オクターブ、つまり周波数2倍の変化を12個の同じ比に分けるので、半音1個ぶんの周波数比を $a$ とすると、半音を12回上がったときに1オクターブ上がって
$$
a^{12}=2
$$
になります。したがって、
$$
a=2^{1/12}
$$
が平均律における半音1個ぶんの周波数比です。実はウクレレでも同じことが言えて、1本の弦で開放弦から12フレットまで上がると音は1オクターブ上がります。つまり12フレットの音は開放弦の2倍の周波数になるので、その途中にある1フレット、2フレット、3フレット...はピアノでいう半音1個、半音2個、半音3個...に対応していると考えることができ、ウクレレで1フレット上がることも平均律では
$$
2^{1/12}
$$
倍だけ周波数が上がることに対応します。
完全5度は半音7個分の音程なので、平均律における完全5度の周波数比は
$$
2^{7/12}
$$
になります。
これを元に、実際に図を見てみましょう。
これを見ると、かなり規則的な模様に見えます。 実際、平均律の完全5度は耳で聴いてもかなり自然に響いています。
しかし、よくよく見ると線が少しずつずれていて完全に同じ場所には戻っていないのがわかるでしょうか。
これは、$2^{7/12}$ が整数比ではないからです。
リサージュ曲線がぴったり閉じるためには、2つの振動の比が
$$
3:2,\quad 5:4
$$
のような整数比になっている必要があります。
平均律の完全5度 $2^{7/12}$ は、純正律の完全5度 $3:2$ にかなり近い値ですが、厳密には同じではありません。
そのため、リサージュ曲線がぴったり閉じないのです。
◇ 用語解説
平均律は、1オクターブを12個の半音に均等に分ける調律。
ピアノやウクレレのフレットは、基本的にこの考え方で作られている。
純正律は、$3:2$ や $5:4$ のような単純な整数比を重視する調律。
整数比なので響きはきれいだが、すべての調で同じように使いやすいわけではない。
純正律の完全5度
次に、純正律の完全5度を見てみます。さっき見た動画と同じ曲線ですね。
純正律の完全5度は、周波数比が
$$
3:2
$$
で表されます。
これは、片方の音が2回振動する間にもう片方の音が3回振動する、という意味です。
たとえば、低い音をCとするとその完全5度上の音はGです。
つまり、CとGの関係が純正律ではおよそ $3:2$ の関係になります。
この図を見ると、先ほどの平均律の完全5度 $2^{7/12}$ と比べて線が余計にずれておらずきれいに閉じた図形になっていることがわかると思います。
これは、$3:2$ が単純な整数比だからです。
2つの振動の比が整数比になっていると、ある時間が経ったところで両方の振動が同時に元の状態に戻ります。今回の場合は、片方が2回、もう片方が3回振動したところで2つの振動のタイミングがそろいます。
そのため、リサージュ曲線も同じ場所に戻り、閉じた図形になるのです。
純正律の長３度
これの他に、純正律の長５度も見ます。これもリサージュ曲線が閉じる形です。
長３度は周波数の比が
$$
5:4
$$
で表されます。
これも片方の音が５回振動する間にもう片方が４回振動します。これも単純な整数比で表されていて、リサージュ曲線が閉じます。このような和音は綺麗に聴こえます。
対数と純正律
リサージュ曲線では、音程を図形として見てきました。
特に純正律の完全5度 $3:2$ や長3度 $5:4$ は単純な整数比なので、きれいに閉じた図形になっていたと思います。
平均律の完全5度 $2^{7/12}$ は、純正律の完全5度 $3:2$ にかなり近いと言う話がありましたが、実際どれくらい近いのでしょうか。リサージュ曲線で違いを見るだけでなく実際に測ってみたいと考えます。
そこで対数を使います。
周波数比 $r$ を平均律の「何半音ぶんか」に変換するために次の式を使います。
$$
s(r)=12\log_2 r
$$
ここでの $s(r)$ が周波数比 $r$ が平均律で何半音ぶんに相当するかを表しています。
たとえば、1オクターブ上の音は周波数比が $2$ なので、
$$
s(2)=12\log_2 2=12
$$
となります。
つまり、1オクターブは12半音です。
完全5度 $3:2$ の場合は
$$
s\left(\frac{3}{2}\right)
=12\log_2\frac{3}{2}
\simeq 7.02
$$
となっています。
平均律の完全5度はちょうど7半音なので、純正律の完全5度はそこから約 $0.02$ 半音だけズレていることになります。
半音単位だと少しわかりにくいので、音程のズレを表すときはよくセントという単位を使います。
1半音を100セントとして
$$
1\ \text{半音}=100\ \text{セント}
$$
です。
したがって、$0.02$ 半音のズレは約2セントずれていることになります。
この考え方で、いくつかの純正律の音程が平均律からどれくらいズレているかを図にしたものが次のグラフです。
この図は上下2段に分かれていて、上段は平均律と純正律の音程の位置を比べたものになっています。
黒い四角は平均律の音程を表していて、平均律では音は0半音、1半音、2半音、3半音……というように等間隔に並びます。
一方、丸で示した点は純正律の音程を
$$
s(r)=12\log_2 r
$$
によって半音数に変換したものです。
もし純正律の音程が平均律と完全に一致していれば、丸は黒い四角の真下に来ます。
しかし実際には少し右や左にズレています。
この横方向のズレが、純正律と平均律の違いです。
下の段は、そのズレをセント単位で表したものです。
◇
特に注目したいのは、完全5度と長3度です。
まず、純正律の完全5度は
$$
\frac{3}{2}
$$
です。
これを半音数に変換すると、
$$
12\log_2\frac{3}{2}
\simeq 7.02
$$
となります。
平均律の完全5度は7半音なので、ズレは約 $+2$ セントです。
つまり、純正律の完全5度 $3:2$ と平均律の完全5度 $2^{7/12}$ はかなり近い音程であることが見えてきます。
一方で、長3度を見てみます。
純正律の長3度は
$$
\frac{5}{4}
$$
です。
これを半音数に変換すると、
$$
12\log_2\frac{5}{4}
\simeq 3.86
$$
となります。
平均律の長3度は4半音なので、純正律の長3度は平均律よりも約 $14$ セント低いことになります。
つまり、長3度では、純正律と平均律のズレがかなり大きくなります。
同じ単純な整数比の音程でも、平均律の中でどれくらい再現しやすいかは音程によって違うわけです。
この図からわかることをまとめると
- 完全5度は、純正律と平均律がかなりよく一致する
- 長3度は、純正律と平均律のズレが比較的大きい
この完全5度と長3度は、このあと登場するTonnetzの2つの基本方向になります。
次の節では、この2つの音程を使って、音を格子状に並べていきます。
Tonnetzとは
リサージュ曲線では、2つの音の関係を1枚の図形として描きました。
次は、1つの音程だけを見るのでなくたくさんの音を平面上に並べて、コード同士の関係を図として見ていきたいと思います。そこで登場するのがTonnetzです。
Tonnetzは英語でいうと"Tone"の"Net"、つまり音の網という意味です。
音同士の近さやコード同士の近さを見るための、地図のようなものだと思えばわかりやすいかもしれません。
今回の図では、ある方向に進むと完全5度だけ音が変わり、別の方向に進むと長3度だけ音が変わります。
つまり、先ほどまでリサージュ曲線でみてきた
- 完全5度 $3:2$
- 長3度 $5:4$
という2つの特別な音程を格子の基本方向として使うわけです。
ここで扱う音は、C, C#, D, ... のような12個の音です。
1オクターブ上がるとまた同じ音名に戻るので、音名は12個で一周すると考えます。
数学っぽく書くと、格子上の位置 $(i,j)$ にある音は
$$
(7i+4j)\bmod 12
$$
のように表すことができます。
ここで、$7$ は完全5度が半音7個ぶんであること、$4$ は長3度が半音4個ぶんであることに対応しています。
この図が、今回使うTonnetzです。
それぞれの丸が、C, D, E, F, G などの音を表しています。
そして、丸と丸を結ぶ線が音程の関係になっています。
まず、図の下にある矢印の通り、横方向に進むと完全5度だけ音が変わります。
たとえば、Cから右に進むとGがあります。
CとGの関係は完全5度です。
$$
C \rightarrow G
$$
これは、周波数比で言えば
$$
3:2
$$
に対応する音程です。
次に、斜め方向を見てみます。
図の右側にある矢印の通り、斜め上方向に進むと長3度だけ音が変わります。
たとえば、Cから斜め上に進むとEがあります。
CとEの関係は長3度です。
$$
C \rightarrow E
$$
これは、周波数比で言えば
$$
5:4
$$
に対応する音程です。
和音が図形として見えるのがわかるでしょうか。これがTonnetzの面白いところでもあり、真骨頂です。
たとえば、Cメジャーコードは
$$
C,\ E,\ G
$$
からできています。
図を見ると、C, E, G の3つの音が小さな三角形を作っているのがわかります。
これが赤色で示した C major の三角形です。つまり、Tonnetz上で長三和音は三角形として現れるということです。
同じように、Aマイナーコードは
$$
A,\ C,\ E
$$
からできています。
図では、A, C, E の3つの音も、隣り合った三角形を作っています。
これが青色で示した Am の三角形です。
ここで重要なのは、C major と Am が隣り合っていることです。
C major は
$$
C,\ E,\ G
$$
Am は
$$
A,\ C,\ E
$$
この2つのコードは、C と E という2音を共有しているので、Tonnetz上でも2つの三角形が辺を共有するように隣り合っています。
これは、C major と Am が音楽的に近い関係にあるということです。
つまり、
Tonnetzでは、コードの近さを三角形どうしの近さとして見ることができる
というわけです。
コード進行を三角形で見る
Tonnetz上で、3つの音からなる三和音が三角形として現れることを見ました。
たとえば C major は $C,E,G$、F major は $F,A,C$、G major は $G,B,D$ からできています。
これらは C major を中心に、左右に隣り合う三角形として並びます。
この図では、C major を中心に、F major と G major がすぐ近くにあります。 これは、Cメジャーキーで重要な I, IV, V のコードが、Tonnetz上でも近い場所に集まっていることを表しています。つまり、よく使われる基本的なコード進行は、格子上でも「近い移動」として見ることができるのです。
さらに、各メジャーコードのすぐ隣にはその相対短調が現れます。
F major の隣には Dm、C major の隣には Am、G major の隣には Em があります。
これは、それぞれのペアが2つの音を共有しているからです。Tonnetzでは、コード同士の近さが「三角形どうしの近さ」としてそのまま見えるわけです。
セブンスコードを図形的に見てみる
ここまで、三和音はTonnetz上で三角形として表せることを見てきました。
では、4つの音からなるセブンスコードはどう見えるのでしょうか。
たとえば、Cmaj7 は
$$
C,\ E,\ G,\ B
$$
Am7 は
$$
A,\ C,\ E,\ G
$$
G7 は
$$
G,\ B,\ D,\ F
$$
からできています。
Tonnetz上では、Cmaj7 や Am7 のようなコードは、三角形にもう1音を加えた平行四辺形に近い形として現れます。
次の図ではAm7、Cmaj7、G7 をTonnetz上に置いて、セブンスコードの形を比べてみます。
一方で、G7 の 7th 音である F はG major の三角形 $G,B,D$ から少し離れた位置にあります。
この少し離れた音が、ドミナントセブンス特有の緊張感を作っているように見えます。
🎸🪕
応用編 : ポカリのCM曲をTonnetzで分析してみよう！
今回は参考曲として筆者が好きなポカリのCM曲「99steps」を解析してみたいと思います。
「99steps」はここから聴けます。夏の雰囲気にあった神曲です。
◇ セクションごとのコード分布
まずは、各セクションでどのコードが何回出てくるかをヒートマップにしました。
いきなりコード進行を見るのではなく、先に曲全体でどのコードがよく使われているかを確認します。
ウクレレのコード譜はこちらのサイトを参考にさせてもらいました。
縦軸が曲のセクション、横軸がコードです。
色が濃いほど、そのセクションでそのコードが多く登場しています。
この図を見ると、曲全体で Am7, Fmaj7, G7, C が中心的に使われていることがわかります。
特に、Verse2-2 では Fmaj7 と G7 の出現回数が多く、曲の中でもコードの動きがはっきり出ているセクションだと見えます。
また、アウトロでは Am7 と Am9 が中心になっていて、曲の終わりに向けて Am 系の響きへ戻っていく様子も見えます。
◇ 遷移回数のヒートマップを見てみよう
次に、コード同士の移り変わりを見ます。
このヒートマップでは、縦軸が「現在のコード」、横軸が「次のコード」です。
つまり、あるマスの数字は「縦軸のコードから、横軸のコードへ何回進んだか」を表しています。色が濃いほど、そのコード進行が多く登場しています。
この図を見ると、特に目立つのは Fmaj7 → G7 です。
出現回数が11回と最も多く、この曲の中ではかなり重要な動きだとわかります。
また、C → Fmaj7 も7回あり、C から Fmaj7 へ進む流れも強く出ています。
一方で、Am7 は特定の1つのコードだけでなく、複数のコードへ分散して進んでいます。
つまり Am7 は、曲の中で「次の展開へつなぐ分岐点」のように働いていると読めます。
◇ 遷移確率のヒートマップも見てみよう
先ほどのヒートマップでは、コード進行の「回数」を見ました。
ただし、回数だけを見ると、もともと出現回数が多いコードほど目立ちやすくなります。
そこで次に、各コードから次のコードへ進む割合を計算します。
たとえば、現在のコードを $X$、次のコードを $Y$ とします。
$X$ から $Y$ へ進んだ回数を $N_{X\to Y}$、
$X$ から始まる遷移の総数を $N_X$ とすると、遷移確率は
$$
P(X\to Y)=\frac{N_{X\to Y}}{N_X}
$$
で表せます。
これにより「そのコードが出たあと次にどのコードへ進みやすいか」を見ることができます。次の図では、行が「現在のコード」列が「次のコード」を表しています。セルの色が濃いほど、その遷移確率が高いことを表します。 また、セル内の括弧には実際の遷移回数も書いています。
この図を見ると、まず Fmaj7 → G7 が非常に強いことがわかります。
Fmaj7 の行を見ると、次のコードはほぼ G7 に集中しています。
つまり、Fmaj7 は、かなり高い確率で G7 へ進むコードとして使われています。
一方で、C → Fmaj7 も目立ちます。
C のあとに Fmaj7 へ進む確率が高く、C から Fmaj7 へ向かう流れも、この曲の重要な動きだと読めます。
ここで特に注目したいのが Am7 ですね。
Am7 の行を見ると、特定の1つのコードだけに集中しているのではなく、複数のコードへ分散しています。つまり Am7 は、次の行き先が一意に決まりにくいコードです。
この「行き先の散らばり」を見るために、右側にはエントロピーも設定しています。
エントロピー $H$ は、ざっくり言えば「次のコードがどれくらい予測しにくいか」を表す量です。1つのコードに必ず進む場合、エントロピーは小さくなります。 逆に、いろいろなコードへ分散して進む場合エントロピーは大きくなります。
◇ 全体像をネットワークで見てみよう
最後に、この曲のコード遷移の全体像をネットワークで見てみます。
矢印の太さは遷移回数です。Fmaj7 → G7 の流れがはっきり見えますね。ノードのサイズが大きいと出現回数も多いです。
◇ 「99steps」をTonnetzで見てみよう
最後に、ここまで見てきた遷移確率をTonnetz上に重ねてみます。
ヒートマップでは、C → Fmaj7 が高確率で現れ、Am7 は複数のコードへ分岐していました。
では、その動きはTonnetz上ではどのように見えるのでしょうか。
赤い矢印は、C → Fmaj7 の遷移を表しています。
ヒートマップではこの遷移の確率が高く、Tonnetz上でも C と Fmaj7 はかなり近い位置にあります。
一方、青い矢印は Am7 → Dm, Em, C への分岐を表しています。
Am7 は周囲の複数のコードへ動ける位置にあり、先ほど見た「分岐点」のような役割が図形としても見えてきます。
つまり、ヒートマップは「どの遷移が起きやすいか」を示し、Tonnetzはその遷移を「コード同士の近さ」として見せてくれます。
このように見ると、「99 Steps」 のコード進行は単なるコード名の並びではなく、Tonnetz上の近い三角形をたどる動きとして読むことができます。
最後に、Aメロからサビまでの進行をTonnetzに表して動画にしてみました。
音楽を「読んでいる」ような感覚になりませんか？
◇ おまけ「レモン」
別の曲でもコード進行を見てみましょう。米津玄師の「Lemon」という曲を見ています。
今回もRinNeさんのコード譜を参考にしています。
E minor（下段）から E major（上段）への転調が、Tonnetz 上では文字通り「上に移動する」動きとして可視化されています！
◇ 最後に
「99steps」は「あと一歩」「もう一歩」というような意味合いがあります。この記事は「やっと終わった」と思っても「もう１step」と思いながら執筆しました。自分自身、まだ100点の内容が書けたとは思っていません。この記事があなたの次の「１step」のきっかけになれば、これほど嬉しいことはありません。