はじめに

こんにちは！今日はデータベースの関係モデルで使われる基本的な演算についてお話しします。普段SQLを使っていると、複雑なJOINや条件検索を当たり前のように行いますが、その裏側には「関係代数」と呼ばれる理論的な基礎があります。
8つの基本演算（和、差、共通、直積、射影、選択、結合、商）を理解しておくと、なぜSQLがあのような構文になっているのかや、どうして特定の操作が可能なのかがクリアになります。これからの学習や実務に生かせると思うので、ぜひ最後まで読んでみてください！

本文

和両立（Union Compatibility）

和、差、共通といった集合系の演算を行うには、和両立（Union Compatibility）の条件が必要です。すなわち、2つの関係RとSが同じ次数（列数）を持ち、対応する列が同じドメインを持っている必要があります。これを満たして初めてUNION、EXCEPT、INTERSECT が適用できます。

和（UNION）

2つの和両立な関係RとSについて、R∪Sは、RまたはSに含まれるタプルをすべて集めた関係です。

R:

ID	NAME
1	Alice
2	Bob

S:

ID	NAME
2	Bob
3	Carol

-- R∪S
SELECT * FROM R
UNION
SELECT * FROM S;

結果
R∪S:

ID	NAME
1	Alice
2	Bob
3	Carol

差（DIFFERENCE）

R−Sは、Rに含まれるがSに含まれないタプル集合です。

-- R−S
SELECT * FROM R
EXCEPT
SELECT * FROM S;

結果
R-S: ID=1,Aliceのみ残る。ID=3, Carolは無視される。

ID	NAME
1	Alice

共通（INTERSECTION）

R∩Sは、RとSの両方に含まれるタプル集合です。

-- R∩S
SELECT * FROM R
INTERSECT
SELECT * FROM S;

結果
R∩SはID=2,Bobのみ

ID	NAME
2	Bob

直積（CARTESIAN PRODUCT）

R×SはRの各タプルとSの各タプルを全組み合わせで生成した関係です。

-- R×S
SELECT * FROM R CROSS JOIN S;

結果
R×SはRの行数×Sの行数のタプルが生成されます

R.ID	R.NAME	S.ID	S.NAME
1	Alice	2	Bob
1	Alice	3	Carol
2	Bob	2	Bob
2	Bob	3	Carol

射影（PROJECTION）

射影は関係から特定の列を取り出す操作です。

-- R'(NAME)
SELECT NAME FROM R;

結果
R(ID,NAME)に対しNAME列のみ取得すると

NAME
Alice
Bob

選択（SELECTION）

選択は関係から条件を満たす行を抽出する操作です。

R:

ID	NAME	AGE
1	Alice	18
2	Bob	25
3	Eve	22
4	Tom	20

-- R'(ID, NAME, AGE)
SELECT * FROM R WHERE AGE > 20;

結果
RからAGE>20の行のみ抽出

ID	NAME	AGE
2	Bob	25
3	Eve	22

結合（JOIN）

結合は2つの関係を共通の属性で結びつける操作です。最も基本的な自然結合では、直積から対応する属性値が等しい行を抽出し、重複列を除去します。

R:

ID	NAME
1	Alice
2	Bob
4	Dave

S:

ID	PRICE
1	100
2	200
3	150

SELECT R.ID, R.NAME, S.PRICE
FROM R INNER JOIN S ON R.ID = S.ID;

結果
R(ID,NAME),S(ID,PRICE)でRとSをIDで結合すると、対応するIDの行がマージされます。

ID	NAME	PRICE
1	Alice	100
2	Bob	200

商（DIVISION）

商は、R÷Sで「Sに含まれる値の組合せをすべて含むRの列集合」を抽出する操作です。SQLに直接対応する構文はなく、相互の包含関係を確認する副問合せなどで実装します。

R:

A	B
1	X
1	Y
1	Z
2	X
2	Y
3	X

S:

B
X
Y

-- R÷S
SELECT DISTINCT A
FROM R
WHERE NOT EXISTS (
  SELECT B FROM S
  WHERE B NOT IN (
    SELECT B FROM R WHERE R.A = A
  )
);

結果
R(A,B), S(B)の場合、R÷Sは「SにあるBすべてに対応するA」を求めます。

A
1
2

まとめ

8つの基本演算は、データベースの考え方を形作る大切な要素です。これらを理解しておくと、SQLで複雑な問い合わせを書く際にも「なぜこう書くのか」「どうしてこの処理が可能なのか」といった理論的な背景がわかり、より納得しながらコーディングできるようになります。
もちろん、実際の現場では必ずしも理論どおりにいかないこともありますが、基礎理論に基づいて考えることで、より良い設計やクエリチューニングに役立ちます。明日は結合演算です！