はじめに

3D Gaussian Splatting（3DGS）は見た目の再現が得意ですが、メッシュを取り出そうとすると表面がガタガタになりがちです。
この問題に取り組んだのが 2D Gaussian Splatting（2DGS, SIGGRAPH 2024） です。

この記事では、2DGS の論文を読みながら自分が疑問に思ったことを Q&A 形式 でまとめます。最後に、2DGS の弱点を補う後続研究（Quadratic Gaussian Splatting）も紹介します。

対象読者

3DGS は触ったことがあり、2DGS がどう違うのか知りたい人
3DGS / 2DGS からメッシュを作りたい人

論文情報

項目	内容
タイトル	2D Gaussian Splatting for Geometrically Accurate Radiance Fields
著者	Binbin Huang, Zehao Yu, Anpei Chen, Andreas Geiger, Shenghua Gao
会議	SIGGRAPH 2024 Conference Papers
arXiv	2403.17888（CC BY 4.0）
プロジェクト	https://surfsplatting.github.io

2DGS をひとことで

3D のガウシアン（楕円体）を ペチャンコにして 2D のディスク（円盤） にし、それを表面に貼りつけるように最適化する手法

これにより、次の結果を出しています。

3DGS と同等の画質・速度を保つ
ノイズの少ないメッシュ を取り出せる
DTU データセットでは、NeuS などの SDF 系手法と同等以上の精度を 約100倍速く 達成（学習約10分）

仕組みの概要

1. プリミティブ：2D ガウシアン・ディスク

各ディスクは以下のパラメータを持ちます。

中心 $\mathbf{p}_k$
2本の接ベクトル $\mathbf{t}_u, \mathbf{t}_v$（ディスクの向き）
2つのスケール $s_u, s_v$（ディスクの大きさ）
不透明度 $\alpha$、球面調和関数による色

法線はディスクの向きから 自動的に決まります。

\mathbf{t}_w = \mathbf{t}_u \times \mathbf{t}_v

ディスク上の点は次のように表されます。

P(u,v) = \mathbf{p}_k + s_u\mathbf{t}_u u + s_v\mathbf{t}_v v

2. レンダリング：レイとディスクの交点を厳密に求める

3DGS は 3D ガウシアンを画面に投影して 2D ガウシアンにし、その値を評価します（アフィン近似）。
2DGS は ピクセルから出たレイとディスク（平面）の交点 を求め、その点でガウシアンの値を評価します。

交点は「x 平面」「y 平面」「ディスク平面」の3平面の交点として、閉じた式で高速に計算できます。

3. 学習：色の損失 + 2つの正則化

\mathcal{L} = \mathcal{L}_c + \alpha \mathcal{L}_d + \beta \mathcal{L}_n

$\mathcal{L}_c$：色の再現（L1 + D-SSIM）
$\mathcal{L}_d$：深度歪み損失（面は1枚）
$\mathcal{L}_n$：法線一貫性損失（ディスクは面に沿って寝る）

4. メッシュ化

学習した各視点で深度マップをレンダリングし、TSDF fusion（Open3D）で統合してメッシュを作ります。

Q&A

Q1. なぜ 3DGS ではきれいな表面が作れないの？

論文は理由を大きく3つ挙げています。

① 体積的な表現と「薄い表面」が合わない
3D ガウシアンは厚みのある塊なので、紙のように薄い表面とは性質が違います。

② 法線を持っていない
3D ガウシアン（楕円体）には「法線」という属性がありません。3軸が同程度の長さなら、どの向きを法線にするかも決まりません。
そのため、

法線マップを出せず、「隣同士の法線をそろえる」といった表面向けの正則化ができない
Poisson 再構成など、法線を使うメッシュ化手法に渡せない

という問題が出ます。

③ 視点によって「面がある位置」が変わる（多視点一貫性がない）
3DGS の評価方法は、3D で見ると「楕円体の中心を通り、視線方向で決まる平面 で切った断面を見ている」ことに相当します（Keselman & Hebert, 2023）。

正面から見る → ある向きの平面で切った断面
斜めから見る → 別の向きの平面で切った断面

そのため、同じガウシアンなのに、視点ごとに深度が変わります。
多視点の深度マップを TSDF で統合すると、この食い違いが面のガタつきや二重化として出てきます。

④（補足）アフィン近似の誤差
透視投影 $x/z,\ y/z$ は非線形ですが、3DGS は中心まわりで1次近似（ヤコビアン $J$）しています。

中心付近は正確
中心から離れるほど、またガウシアンが大きいとき・カメラに近いとき・斜めから見るときに誤差が増える

その結果、画面上の形や深度が歪みます。

2DGS ではレイとディスクの交点が1点に決まるので、どの視点から見ても同じ3D点を評価 できます。投影も同次座標で厳密に扱っています。
論文の追加実験（付録表6）では、アフィン近似を厳密なレイ交差に変えるだけで DTU の Chamfer 距離が 1.08 → 0.88 に改善しています。

Q2. 「色付きの 2D ディスクを貼り合わせる」だけではダメなの？

ジオメトリ（形）が既知なら、それで十分です。
これは古典的な サーフェル（surfel） と同じ考え方で、LiDAR 点群の表示などに使われています。

2DGS が解いているのは、それとは逆の問題です。

写真しかない状態から、ディスクをどこに・どの向きで・どの大きさで・何枚置けば写真と一致するか を探す

このため、単純な貼り合わせにはない工夫が必要になります。

工夫	理由
ガウシアンでぼかす・半透明にする	縁がくっきりした不透明ディスクだと、ずらしても色が変わらず勾配が流れない
正則化（深度歪み・法線一貫性）	色だけでは形が1つに決まらない（浮いたディスクや多層でも写真は再現できてしまう）
球面調和関数による色	1色だと、光沢による見え方の変化を「形をずらす」ことで説明しようとしてしまう
適応的な密度化（分割・削除）	ディスクの枚数も最初は分からない

最終的にできあがるものは、確かに「色付きディスクの貼り合わせ」に近いです。

Q3. 深度歪み損失（$\mathcal{L}_d$）は何をしているの？

\mathcal{L}_d = \sum_{i,j}\omega_i\,\omega_j\,|z_i - z_j|

$\omega_i$：i 番目の交点のブレンド重み（ピクセルの色への寄与）
$z_i$：i 番目の交点の深度

防ぎたい状態：アルファブレンディングはディスク同士の距離を考えません。そのため、

カメラ ──→  |      |       |
          z=1.0  z=1.2   z=3.0

のように奥行き方向に散らばっていても、色さえ合えば損失はゼロになります。
このとき深度は重み付き平均なので、何もない位置（z≈1.6）に面がある ことになってしまいます。

数値例（交点2つ、順序付きペアで計算）

状況	ω	z	$\mathcal{L}_d$
同じ深度に集まっている	0.5, 0.5	1.0, 1.0	0
離れている	0.5, 0.5	1.0, 3.0	1.0
離れているが片方が支配的	0.9, 0.1	1.0, 3.0	0.36

損失を下げるには「ディスクを近づける」か「片方だけを残す」しかありません。どちらを取っても 見える面は1枚 になります。

Mip-NeRF360 の distortion loss との違い
Mip-NeRF360 では $z_i$ はレイ上の固定サンプル位置で、重みしか動きません。
2DGS ではディスクを動かすと $z_i$ 自体が変わるので、ディスクを1か所に集める方向に直接 勾配が流れます。

実装上の工夫（付録A）として、深度は NDC 空間に変換して遠方の影響を下げています。また、二重和を累積和に変形し、1回の走査で計算しています。
重みは有界シーンで $\alpha=1000$、非有界シーンで $\alpha=100$ です。

Q4. 法線一貫性損失（$\mathcal{L}_n$）は何をしているの？

\mathcal{L}_n = \sum_i \omega_i\left(1 - \mathbf{n}_i^\top\mathbf{N}\right)

2種類の法線を比べて、そろえる損失です。

法線	求め方	意味
$\mathbf{n}_i$	ディスクの向き $\mathbf{t}_u \times \mathbf{t}_v$（カメラ側に向ける）	ディスクの傾き
$\mathbf{N}$	深度マップの隣接ピクセルの差分から計算	点が並んでできる面の向き

\mathbf{N}(x,y) = \frac{\nabla_x\mathbf{p}_s \times \nabla_y\mathbf{p}_s}{|\nabla_x\mathbf{p}_s \times \nabla_y\mathbf{p}_s|}

ここで $\mathbf{p}_s$ は、レイ上で蓄積不透明度が 0.5 を超えた点（中央値深度）の3D座標です。平均深度より外れ値に強くなります。

$\mathbf{n}^\top\mathbf{N} = \cos\theta$ なので、

角度 θ	$1-\cos\theta$
0°（一致）	0
30°	0.13
90°（ディスクが面に対して立っている）	1

勾配は両方向に流れます。

ディスク側：面の向きに合わせて回転する
深度側：ディスクの向きと矛盾しないように 深度マップが滑らかに なる

重みは $\beta = 0.05$ です。

Q5. 2つの正則化は両方必要？

役割が違うので、両方必要です。

項	抑えるもの	外したときの症状
深度歪み	奥行き方向のばらつき（多層）	法線がぼやける
法線一貫性	面に沿った方向の傾きのばらつき	法線の向きにノイズが乗る

DTU でのアブレーション（論文表5、Chamfer 距離・小さいほど良い）

設定	平均
法線一貫性なし	1.24
深度歪みなし	0.88
両方あり	0.83

副作用：どちらも「面は1枚で滑らか」という前提の項です。

細かい凹凸が丸まる（過度な平滑化）
ガラスのような 半透明物体 には合わない
画質（PSNR）とのトレードオフがある

Q6. 2DGS のディスクは曲げられないの？

1枚のディスクは曲げられません。

P(u,v) = \mathbf{p}_k + s_u\mathbf{t}_u u + s_v\mathbf{t}_v v

これは $(u,v)$ について1次式なので、必ず平面になります。レイとの交差計算も「平面と直線の交点」として解いているので、平面であることが前提です。

曲面は、ポリゴンメッシュと同じように 小さな平面ディスクを少しずつ傾けて並べて 近似します。

本当の曲面:  ⌒⌒⌒
2DGS:      ＿／￣＼＿

弱点

曲率が大きい場所では、たくさんのディスクが必要
密度化は「色の誤差」を見てディスクを増やすので、色は単調だが形は複雑な場所 ではディスクが増えにくい（論文の Limitations でも言及）
正則化で平らになりやすい

Q7. 曲げられるプリミティブを使った論文はないの？

あります。Quadratic Gaussian Splatting（QGS） です。

項目	内容
タイトル	Quadratic Gaussian Splatting: High Quality Surface Reconstruction with Second-order Geometric Primitives
arXiv	2411.16392
会議	ICCV 2025

ポイント

平面ディスク（1次）の代わりに、2次曲面（楕円面・放物面など）をプリミティブにする
曲がり具合も学習パラメータ
レイ ✕ 2次曲面の交差 を閉じた式で解く（2次方程式）
ガウシアンの広がりを、直線距離ではなく 曲面に沿った測地線距離 で定義する
要旨では、DTU の Chamfer 距離が 2DGS より約33%改善、画質は同等。平面ディスク何十枚分を1つで表せる

2DGS の「曲率の大きい場所でディスクがたくさん必要」という弱点に、正面から取り組んだ研究です。

関連（曲面化ではない改良）

Geometry Field Splatting with Gaussian Surfels（CVPR 2025）：サーフェルの不透明度を幾何の場から導く
GS-2DGS（CVPR 2025）：反射のある物体向けに 2DGS を拡張

まとめ

	3DGS	2DGS	QGS
プリミティブ	3D 楕円体	2D 平面ディスク	2次曲面
法線	なし	ディスクの向きから一意に決まる	曲面から決まる
評価位置	視点で変わる断面	レイ ✕ 平面の交点	レイ ✕ 2次曲面の交点
得意	見た目の再現	正確な表面・メッシュ	曲率の大きい表面
苦手	メッシュ化	曲面に多数のディスクが必要、半透明	（計算コストは要確認）

3DGS は「見た目を合わせる表現」としては優秀だが、「どこに面があるか」を一貫して答える表現ではない
2DGS は プリミティブを平面にし、交点を厳密に計算 することで、その部分を直した
さらに 2つの正則化 で「面は1枚・ディスクは面に沿う」ことを強制し、きれいなメッシュを得ている
平面であることの限界は、QGS のような 曲面プリミティブ で改善されつつある

参考文献

Huang et al., "2D Gaussian Splatting for Geometrically Accurate Radiance Fields", SIGGRAPH 2024. arXiv:2403.17888
Kerbl et al., "3D Gaussian Splatting for Real-Time Radiance Field Rendering", ACM TOG 2023.
Keselman & Hebert, "Flexible techniques for differentiable rendering with 3D Gaussians", arXiv:2308.14737, 2023.
Zwicker et al., "Perspective accurate splatting", Graphics Interface 2004.
Barron et al., "Mip-NeRF 360: Unbounded Anti-Aliased Neural Radiance Fields", CVPR 2022.
"Quadratic Gaussian Splatting: High Quality Surface Reconstruction with Second-order Geometric Primitives", ICCV 2025. arXiv:2411.16392
Jiang et al., "Geometry Field Splatting with Gaussian Surfels", CVPR 2025. arXiv:2411.17067
Tong et al., "GS-2DGS: Geometrically Supervised 2DGS for Reflective Object Reconstruction", CVPR 2025.

※ 論文の図表の数値は原論文（arXiv 版, CC BY 4.0）から引用しています。