ラグランジュの未定乗数法 - 幾何的イメージプロット

概要

• ↓の動画の最後の方で$\lambda$を変化させたときのグラフの話があったが、頭の中でイメージしきれなかったのでプロットした
• 【ラグランジュの未定乗数法】あの計算の意味、説明できますか？【幾何的イメージも解説】#094​ #VRアカデミア
• プロットしたノートブックはココ

プロット

今回、最小値を求める$f(x)$、拘束条件$g(x)$、$F(x, y, \lambda)$（動画と同じ）

\begin{align}
f(x) &= x^2 + y^2 \\
g(x) &= x + y - 1 = 0 \\
F(x, y, \lambda) &= f(x) - \lambda g(x) \\
&= (x^2 + y^2) - \lambda (x + y - 1)
\end{align}

• $\lambda$を変化させたときの$z = F(x, y, \lambda)$を$0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 1$でプロットすると以下のようになる
• 確かに、$\lambda = 1$のときに拘束条件を満たす線上で接平面が水平になってそう

$\lambda$	グラフ
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0