想定解と違う方法で解いたので解法を書きたいと思います。
$2^n>\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}2^i$ より大きい桁を $1$ にする方が小さい桁を $1$ にするより常に重要なため、大きい桁から見て達成可能かを考えます。
また、数列 $X$ を用意します（始め $X$ は空です）。
$i$ の大きい順に解の $i$ 桁目が1にできるかを考えます。
・$i$が奇数のとき
$A$ に $i$ 桁目が含まれるときのみ解の $i$ 桁目を $1$ にすることが可能です。また、 $X$ に $i$ を追加します。
・$i$ が偶数の時
$A$ の要素のうち $i$ 桁目が $1$ であるようなもののみを集めた数列 $B$ とします。これを用意して解の $i$ 桁目を $1$ にできるかを考えます。
まず、$B$ が要素を持たない場合は $i$ 桁目が $1$ で $A$ に含まれるものがそもそも存在しないため、$i$ 桁目を $1$ にすることはできません。
また、$X$ に含まれる要素 $j$ について、$B$ にも $j$ 桁目が $1$ である要素が一つ以上含まれている必要があるため、その判定も行う必要があります。
そして、この条件を満たす場合解の $i$ 桁目を $1$ にできます。この時、$A$ に含まれていなくて $B$ に含まれている要素を使用することはできないので、$A$ を $B$ に置き換えて考えることになります。
計算をすべて終えた後、解の $i$ 桁目を $1$ にできる $i$ を全て列挙できているため、解を求めることができます。
計算量を考えます。
$2^i\leq \max(A)$ である $i$ のみ考えればよいため、見るべき $i$ は $O(\log(\max(A)))$ 個だけでよいです。そのため、$X$ に含まれる要素も $O(\log(\max(A)))$ 個であり、$A$ の要素数も常に $N$ 個以下のため、全体 $O(N\log(\max(A))^2)$ でこの問題に解くことができました。
コード（C++）
読みにくいかもしれませんが許してください。