はじめに

エルデシュ・シュトラウス予想（Erdős–Straus conjecture）は次を主張します。

$$
\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z},\qquad x,y,z\in\mathbb N.
$$

1948 年の提案以来、

という状況が続いています。

この予想を構成的・代数的・因数分布的に整理した結果をまとめます。

1. 基本変換：可除性条件への還元

補助変数 $t$ を導入して $z = tn$ と置くと、

$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4t-1}{tn}
$$

となります。
$y$ について解くと、

$$
y=\frac{tnx}{(4x-n)t-x}.
$$

分母を

$$
d=(4x-n)t-x
$$

と置けば、必要十分条件は

$$
d \mid tnx.
$$

$$
n=
\begin{cases}
4k & (\text{Type A})\
4k-1 & (\text{Type B})\
4k+2 & (\text{Type C})\
4k+1 & (\text{Type D})
\end{cases}
$$

特に Type D（4k+1 型）が最難関とされています。

$x=k,\ t=k+1$ と置くと $d=1$ となり、可除性条件が自動的に成立します。

$$
\frac4{4k-1}=
\frac1k+
\frac1{k(k+1)(4k-1)}+
\frac1{(k+1)(4k-1)}.
$$

$$
x=k+c
$$

と置くと、

$$
k+d=(4t-1)c.
$$

$k+1,\ k+2,\ k+3$ のいずれかは必ず 3 の倍数なので、
$d=1,2,3$ のいずれかでほぼ構成可能です。

$$
2k+2d+1=(2c-1)(4t-1).
$$

こちらも
$2k+3,\ 2k+5,\ 2k+7$ が mod 3 の完全剰余系なので、
$d=1,2,3$ のいずれかでほぼ構成可能です。

アフィン変換により、Type D は次の形に整理されます。

$$
n+4d=(4c-1)(4t-1).
$$

ここで

であるため、Type D の本質は

$$
n+4d \text{ が } (3\mod4)\times(3\mod4) \text{ 型因数分解を持つか}
$$

という問題に還元されます。
ただし、他のTypeとは異なり証明は困難。

解析数論では次が知られています。

d を動かすと $n+4d$ は「ほぼランダムな奇数」とみなせるため、

$$
\mathbb{P}\bigl(n+4d\text{ が }(3\mod4)\text{ 型因子を 2 個以上持つ}\bigr)\approx 1.
$$

したがって、

$$
\frac4n=\frac1x+\frac1y+\frac1z
$$

は密度 1（ほぼ全ての n）で成立すると期待されます。