結論

検証方法

20回中13回で「2次関数」が最大の決定係数となった。

具体的な決定係数の推移は下図のとおり。

「説明変数も目的変数もランダムだから、分布が全体に広がった形になって、形状がダイナミックな2次関数が有利だったのでは？」と、脳内の自分から質問が出たので、目的変数の関数を「=RAND()/5+0.5」にして、比較的潰れた形の散布図を作り、同様の検証を行ってみた。

散布図

結果、やはり「2次関数」の決定係数が高くなる傾向になった。

なぜこのような結果になるのか、少し考えてみた。

今回用いた4つの近似式は、一般化すると

仮にデータ数がn=3であれば、2次関数は完ぺきにフィットする数式を作ることができるが、他の関数はそうなるとは限らない。

2次関数は、最大値or最小値を持ち、その前後で増減が切り替わるが、他の3つは最大値or最小値を持たないので、単調増加か単調減少にしかならない。

もし、データの分布に増減が切り替わる傾向があった場合は、2次関数が当てはまりの良さで優位になる。

反対に、データの分布に増減の切り替わる傾向がなかった場合は、2次関数は不利になるかといえば、そうはならない。
なぜなら、2次関数の軸（最大値or最小値となるときのx）を、データのxの範囲の外側においてしまえば、2次関数であっても、データの範囲内では単調増加or単調減少にできるからである。。

Excelでは、それぞれ「線形近似」「多項式近似（次数=2）」「指数近似」「対数近似」のこと。 ↩
指数関数の一般式をy=ae^(bx)+cと、対数関数の一般式をy=aln(x+b)+cとすれば、両者の自由度は3である。しかし、Excelの場合はそうなってはいない。 ↩