このような角度 α と角度 β を考える

このとき、このような３つの直角三角形が出現することがわかる

直角三角形の底辺と高さはそれぞれ
底辺は斜辺 × cosθ
高さは斜辺 × sinθ
で求めることができるので、この直角三角形の長さは以下のようになる。

この事から cos(α + β) は cos β cos α から sin β sin α を引く事で求まることがわかる。
同様に sin(α + β) も cosβsinα と sinβcosα を足す事で求められることがわかる。

cos(α + β) = cos β cos α - sin β sin α
sin(α + β) = cos β sin α + sin β cos α

cos(α - β), sin(α - β) はこの角度βの直角三角形を反転させることで以下のように求められる

cos β cos α と sin β sin α を足す事で cos(α - β) が、
sin β cos α から cos β sin α を引く事で sin(α - β) が
それぞれ求めることができた。

cos(α - β) = cos β cos α + sin β sin α
sin(α - β) = sin β cos α - cos β sin α

ついでにこの図から正弦定理を求めることもできる。
角度βの三角形を二つ作ったことで弧が出来上がった。
この弧からの中心角度は２βであり、円周角の定理からこの弧から作られる角度は中心角の半分、つまり角度βになる。
そして中心を通るように直線を引き、直角三角形を作るとこんな感じになる。

角度βに向かい合う辺の長さは２ sin βなので、 $\frac{2 sin β}{sin β} = 2R$ となる