x^4-4x^2＋2=0
の4つの解を
a b c d
とする
すると、d=(a^2-2)÷a
のように、dはa だけで表せる
同様に、bもcもaだけで表せる
このことを難しく言うと、
自己同型写像σは、
解をa →b→c→d →a→〜
と巡回させる。
位数4の巡回群と同型になる。
●ここに、説明追記
ガロア群は全て巡回群になる！
しかしガロア群はいつも巡回群になるとは限らない
x^2 -2を因数分解する
√2 と-√2が解
→高校数学の問題を入れる
x^2 -2は、√2のQ(√3)上の最小多項式です。
●✕√2 ＋◯✕√3=0
になるから！
背理法を使って証明する
単拡大体
→4つの解が4次のxの多項式になる
→係数に着目して、？で割り切れるかを調べる
発展
4つの解を入れかえても
数式が成り立つかを考える(2段拡大)
ガロア理論の頂を踏む
石井俊全 著
ベレ出版
335ページ