x^4-4x^2+2=0\tag{1}
の4つの解を α, β, γ, σ とすると、
α = $\sqrt{2+\sqrt{2}}$
β = -$\sqrt{2+\sqrt{2}}$ = -α
のように、βはαだけで表せる。同様に、γとσも、
γ = $\sqrt{2-\sqrt{2}}$ = $(α^2 - 2)$ / α (αγ=$\sqrt{2}$ を使う）
σ = -$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ = -γ = $-(α^2 - 2)$ / α
αだけで表せる。ガロア理論の頂を踏む（ベレ出版 石井俊全著）の第5章 体と自己同型写像 333ページを参照してほしい。
この（１）式が因数分解できるかは、Eisensteinの判定法から分かる。つまり１次、２次、３次の項が2で割り切れて（係数が素数であること）、4次の項が2で割り切れないから、Eisensteinの判定法より、因数分解ができないことが分かる。つまり、定理1 有理数係数多項式の既約性（注１）より、Z上（整数係数）の既約多項式であり、Q上（有理係数）でも既約多項式である。代数方程式の根（解）の入替（置換）ができるので、ガロア群の候補となる。
よって、定理２ 最小多項式と既約多項式（注２） と定理３ 単拡大体Q(α）の元の表現の一意性（注３） より、Q(α,β,γ,σ）= Q(α)の元は、
aα^4+bα^2+cα+d=0
の形にただ一通りに表される。このことから、ρをQ(α)に作用する同型写像とする。定理4 同型写像は解を共役な解に移す(注4)より、同型写像は方程式の解を共役な解に移す。γはQ(α)の元だから、定理5 同型写像が自己同型写像になる条件(注5) よりρはQ(α)の自己同型写像になっている。計算してみると、自己同型写像σは、解を
α → β → γ → σ → α →（巡回する）
これから、
ρ^2(α） = β, ρ^3(α） = σ, ρ^4(α） = α
となり、
σ^4 = e
である。
よって、式（1）は、自己同型写像の集合となる。ちなみに体（たい、field）とは、四則演算（加法・減法・乗法・除法）が自由にできる数の集合のことで、有理数全体や実数全体を表す。
では、式（1）が体拡大かを探ってみよう。まず、式（1）と式（2）を比べてみる。
x^4-4x^2+2=0\tag{1}
x^3-3x^2+1=0\tag{2}
式（1）と式（2）は、共に既約多項式であり、検証してみると、式（１）と式（２）とも、最小分解体となる。（注5）
さらに式（1）が式（2）と決定的に異なるのは、式（１）は実数解$(\sqrt{2})$を持ち解は全て実数だが、式（2）は虚数解（ωを含む）も持つ。難しく言うと、式（1）はQ（α）よりも小さいQ（$(\sqrt{2})$）というQの各大体を持つ点が、式（２）と異なる。ガロア理論の頂を踏む（ベレ出版 石井俊全著）の第5章 体と自己同型写像 324ページに式(2)のことが記載されている。
詳細は割愛するが、ガロア理論の頂を踏む（ベレ出版 石井俊全著）336～337ページを読み証明しながら体の包含関係を調べると、
Q ⊂ Q（$(\sqrt{2})$）⊂ Q（α）
となる。このQ（$(\sqrt{2})$）のようにQとQ（α）の中間にある体を中間体と呼ぶ。ガロア群の「部分群」と、体の拡大における「中間体」が１対１に対応する（ガロア対応）ことが、ガロアの基本定理である。
以上、既約多項式（注6）を調べて、ガロア群を探ってみた。そして解の集合により、中間体があり、これがあることがガロア群となる条件になることを体感できた。
ちなみに、式（1）は、
Gal(Q(α）/Q) = {$e, σ, σ^2, σ^3$}
となり、位数4の巡回群と同型になる。群の定理は、参考書などで各自調べて欲しい。
ちなみにこの分野は、線形代数とも関連がある。基底に含まれるベクトルの個数を次元と呼ぶが、この基底の数が同じことが同型になる条件の一つとなる。二つの空間の基底間に一対一対応の全単射を定義し、それを線形に拡張することで、同型写像をつくることができる。（注7）
（参考文献）
「ガロア理論の頂を踏む」 石井俊全 著 ベレ出版 324～337ページ
注1 定理１ 整数係数の多項式
f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+・・・ +a_1x+a_0
において、次の条件を満たす素数ｐが存在すれば、f(x)は整数係数の範囲で既約多項式である。
（ⅰ）a_i はpで割り切れるが、p^2で割り切れない。
（ⅱ）a_i (i = 1,・・・,n-1)は、p^2で割り切れる
（ⅲ）a_nはｐで割り切れない。
注2 定理２ 最小多項式と既約多項式
f(x)=0がαを解として持つとき、f(x)がQ上の既約多項式である。
⇔f(x)がα上の最小多項式である。
注3 定理３ 単拡大体Q(α）の元の表現の一意性
αのQ上の最小多項式がn次式f(x)であるとする。Q(α）は体となり、元の表し方は1通りである。
注4 定理4 同型写像は解を共役な解へ移す 同型写像は解を体KからK'への同型写像とし、αをKの元とする。Q上の方程式f(x)=0の解の一つをαとすると、ρ(α)もf(x)=0の解である。
注5 定理5 同型写像が自己同型写像になる条件
Q(α)に作用する同型写像について、ρ(α)がQ(α)に含まれるとき、ρはQ(α)の自己同型写像になる。
注6 既約多項式が最小分解体とは限らない。
既約多項式は、それ以上因数分解できない多項式である。
これが最小分解体になるには、同型を除いて一意に定まるなどの条件が必要になる。
注7 基底の数が同じでも、基礎となる体（実数体Rや複素数体Cなど）が異なると、同型にならないことがある。