機械インピーダンス、ハミルトニアン

機械インピーダンスは、運動量 ÷ 変位　という比を持つ。インピーダンスを、ばねと重りからなる時計でも使われる「調和振動子」で考える。これは、一定周期で重りが往復運動をするシステムである。

「調和振動子」は、振動はばねのように位置エネルギーをためる部位と、
おもりのように運動エネルギーをためる部位がある。
エネルギーの和、総量は変わらないため、
ばねエネルギーの位置をためる「ひづみ」や「ため」を表す変数ｘと
おもりの運動量のような「いきおい」を表す変数ｐが時間の経過とともに変化する。
インピーダンス　Ｚ＝Δｘ / Δｐ = (いきおい）/ (ため)

ばねと重りから成る「調和振動子」は、次の２つの方程式が成り立つ。
　・p = mv = m Δx/Δt (運動量。変位量ｘを時間tで微分）

・Δp/Δt = -kx (ばねの式f = -kx。運動量pを時間で微分すると復元力になる。)

振動を表す関数
x(t) = C1cosωt + C2sinωt
この式を複素数を使って、
d/dt(mωx + ip) = -iω(mωx + ip)　と変形する

そして(mωx + ip)に現れる係数に着目する。この係数をＺとする。
Ｚ＝ｍω＝$\sqrt{mk}$

このＺが、機械的インピーダンスである（電気的インピーダンスも後ほど取り上げる）

〇機械的インピーダンスの特徴
Z = √mkが大きいのは、おもりが重くて（ｍが大Ｉ硬いバネ（ｋが大）に相当し、
おもりの見かけの振幅は小さくても、運動量の振幅は大きい。つまり、進行速度は遅いが力が大きくなる。
ｚが小さいと、おもりが軽くて柔らかいバネとなる。つまり、見かけの振幅は大きくても、力は大したことはないシステムになる。

機械系の構成方程式によらない運動方程式は、時間微分されている変数である位置xと運動量pの積は作用積分あるいはプランク定数hの次元を持つ。
●修正！！
共役物理量(インピーダンス)の次元は各変数への次元の割りあて方しだいで変わってしまう。

〇電気的インピーダンス
電気回路のトランスは、ΔVとΔIの積は一定のまま比を
変える装置なので、インピーダンス・マッチングに使われる。

電気インピーダンスは、
電圧/電流＝抵抗
電荷の移動という観点から見ると
●修正！！
Ｚ＝ΔＶ/ΔI = （コンデンサにたまった電荷の電圧）/（電流）

エネルギー伝達をうまくするには、
調和振動子は、固有振動数が等しくし、同時にインピーダンスも等しくしなけらば
ならない。そのためには、インピーダンス・マッチングという調整が必要になる。

●ここから、ハミルトニアン。量子力学への第一歩。
虚数の符号が反転したものを共役という。
例）１＋２i　の共役は、1-2i

\hat
Ｈ=1/2m P^2 + 1/2KX^2
この式が調和振動子のハミルトニアンである。

注意　電気のインピーダンスとは単位が違う


量子力学10構　谷村省吾著
名古屋大学出版
第10構　調和振動子　P.151あたり