追記2021/11/09
どうやら海岸線データの置いてあるサーバ（https://naciscdn.org/naturalearth/ ）がたまたまダウンしていただけで，一時的な問題だった可能性がある，と後に友人から教えてもらいました．ありがとう．．

私，初心者です．内容にはご注意．また，異なる理由で同じエラーの出る場合もあるかもしれないので，ひとつのケースとして参考までに．

バージョン

確認できたものだけ（真面目に全バージョン検証したわけでない）
cartopy 0.19.0.post1

状況

cartopy.fearure.BORDERSをax.add_featureで実行．エラーを辿ってゆくと最終的にはpython3.9のurllibでのエラーと出るが，それ自体はcartopyが呼んでいる．

解決

... /miniconda3/lib/python3.9/site-packages/cartopy/io/shapereader.py
ないの300行くらいのところにある_NE_URL_TEMPLATEのアドレスを書き換える

修正前

     _NE_URL_TEMPLATE = ('https://naciscdn.org/naturalearth/{resolution}'
                        '/{category}/ne_{resolution}_{name}.zip')

修正後

     _NE_URL_TEMPLATE = ('https://naturalearth.s3.amazonaws.com/'
                         '{resolution}_{category}/ne_{resolution}_{name}.zip')

cartopy.fearure.BORDERSを初めて描画するタイミングでデータのダウンロードが発生し，上記のURLが参照されているよう．故にそのタイミングが肝と思われ，少し前（2021年の2月とか）はnaciscdn.orgにアクセスできたが最近（2021年9月）はアクセスできなくなっている．
amazonのサーバーを指定すると大丈夫のよう．最新版のcartopyでcaciscdnを指定しているものもあったので，そもそもcondaのバージョンも関係している可能性あるが，検証はしていません．

参考