この記事はAtcoder公式のAtCoder Rating System ver. 1.00を、ChatGPTを使って翻訳した文です。原文がPDFなので、筆者がマークダウン記法での書式に整えて翻訳しました（これ）。
また、原文には書かれていませんが、最終的なレーティングの計算式も追加しました。
というのも、原文を参考にPythonで計算のシミュレーションをしたのですが、結果が一致しませでした。説明が不十分と感じ、AtCoderのレート計算式の考察を参考にして再度計算してみたところ、無事結果が一致しました。数式の意味や細かい数学的な考察なども、AtCoderのレート計算式にとても詳しく書かれていますので、ぜひ参考に。
以下本文です。
Atcoderレーティングシステム ver. 1.00
レーティングシステムの概要
このレーティングシステムは、Elo RatingのようにLogistic Distribution（またはSigmoid Function）に依存していますが、多くの修正が加えられています。各コンテストで「パフォーマンス」という値が得られます。この値は、コンテストでどれだけ良いパフォーマンスをしたかを表しています。過去のコンテストのパフォーマンスはhttps://atcoder.jp/users/USERNAME/historで確認できます。
大まかに言うと、あなたのレーティングは、パフォーマンスの加重平均（最近のコンテストにはより多くの重みがあります）から、$f(レート対象のコンテストへの参加回数)$を引いたものとして計算されます。ここで、$f(1) = 1200$であり、$f$は徐々に減少してゼロに収束します。これは、$X$のパフォーマンスを維持し続けると、あなたのレーティングは$X - 1200$から始まり、$X$に収束するということを意味します。最初のコンテストで非常に低いレーティングを取っても心配しないでください。より多くのコンテストに参加すると、レーティングは非常に速く上がる可能性が高いです。10回以上のコンテストに参加した後は、あなたのレーティングが実力に近いものであると考えてよいでしょう。
パフォーマンスの計算
内部的には、パフォーマンスには2種類あります：$Perf$と$RPerf$（Rounded Performance）。https://atcoder.jp/user/USERNAME/historyに表示されている数字は実際には$RPerf$です。まず、各参加者について、$APerf$（Average Performance）を計算します。特定のユーザーの$Perf$（$RPerf$ではない）の履歴を$Perf_1, \cdots , Perf_k$としましょう。$Perf_1$は最新で、$Perf_k$は最も古いものです。この参加者の$APerf$は、以下のように定義されます。
$$
APerf=\frac{\sum_{i=1}^k Perf_i \times 0.9^i}{\sum_{i=1}^k 0.9^i} \tag{1}
$$
新参者の$APerf$は$Center$に設定されます。AGCでは$Center = 1200$、ARCでは$Center = 1000$、ABCでは$Center = 800$です。
参加者数を$n$とし、$i$位の参加者の$APerf$を$APerf_i$とします。このコンテストで$r$位のユーザーの$Perf$は、以下の条件を満たす唯一の$X$として定義されます。
$$
\sum \frac{1}{ 1+6.0^{ (X-A Perf_i )/ 400.0 } }=r-0.5 \tag{2}
$$
この$X$は二分探索を使用して計算できます。
順位は、同じ順位になった場合の平均となります。例えば、3位から6位まで4人が同じ場合、これらの人々の順位は4.5です。例外として、最初のコンテストでのパフォーマンスのばらつきが小さすぎるのを避けるため、最初のコンテストのパフォーマンスは以下のように誇張されます。
$$
Perf=(Perf- Center) \times 1.5+Center \tag{3}
$$
最後に、各ユーザーの$RPerf$は以下のように計算されます。
$$
RPerf=\min ( Perf, RATEDBOUND+400 ) \tag{4}
$$
ここで、$RATEDBOUND$はARCで2800、ABCで2000、AGCで∞です。
これは、ARCのいくつかのトップの人々のパフォーマンスがすべて3200であることを意味します。
レーティングの計算
レーティングはパフォーマンスの平均です。
以下の関数を$f$としましょう：
$$
F(n)=\frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n 0.81^i}}{\sum_{i=1}^n 0.9^i} \tag{5}
$$
$$
f(n)=\frac{F(n)-F(\infty)}{F(1)-F(\infty)} \times 1200 \tag{6}
$$
次に、以下の関数を$g$とします：
$$
g(X)=2.0^{\frac{X}{800}} \tag{7}
$$
この関数は、より良いパフォーマンスにより多くの重みを割り当てるために使用されます。したがって、非常に良いパフォーマンスとそこそこのパフォーマンスとの間には大きな差がありますが、大失敗と中程度の失敗との間の差はそれほど大きくありません。
特定のユーザーの$RPerf$の履歴を$RPerf_1 , . . . , RPerf_k$としましょう。このユーザーのレーティングは、以下のように定義されます。
$$
Rating=g^{-1}\left(\frac{\sum_{i=1}^k g\left(RPer f_i\right) \times 0.9^i}{\sum_{i=1}^k 0.9^i}\right) \tag{8}
$$
この式により、各ユーザーのレーティングが計算されます。
補足
※ここは原文にない補足部分です。この補足がないと、実際のレーティングの算出ができません。ただし、公式の情報からでなく、推測であることの断りを入れておきます。
原文通りに計算すると、レーティング結果がどうしてもマイナスになってしまいます。そこで、400以下のレートを以下のようにマッピングすることで解決させます。
$$
mapRating(r) =
\begin{cases}
\frac{400}{\exp(\frac{400 - r}{400})} & ( r \leq 400 ) \\
r & ( r \gt 400 )
\end{cases} \tag{9}
$$
最後に、コンテストの出場回数$n$に応じてレーティングの信頼度を調整する$f(n)$の項（数式(6)）を追加して、真のレーティングを計算します。
$$
TrueRating = mapRating(Rating - f(n)) \tag{10}
$$
--- 補足おわり ---
色
執筆中。
段と級
執筆中。現時点では、これが達成した最高のレーティングに依存するとだけ言っておきます。
このドキュメントの履歴
- 2016年8月13日 Ver. 1.00：初版。